[論文レビュー] An efficient algorithm for numerical homogenization of fluid filled porous solids: part-I

Saumik Dana, Mary F. Wheeler|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2020

Composite Material Mechanics被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、代表体積要素（RVE）の計算とマクロスケールの有限要素解析を結合することで、流体で満たされた多孔質固体の数値均質化のための効率的な $FE^{2}$ ベースのアルゴリズムを提示する。流体相に対して連続的な変位場を定義し、RVEに周期的境界条件を適用することでエネルギー的同等性を確保し、有効マクロスケールの接線剛性行列および第1ピオラ・クリストッフ応力の正確な計算を可能にする。

ABSTRACT

The concept of representative volume element or RVE is invoked to develop an algorithm for numerical homogenization of fluid filled porous solids. RVE based methods decouple analysis of a composite material into analyses at the local and global levels. The local level analysis models the microstructural details to determine effective properties by applying boundary conditions to the RVE and solving the resultant boundary value problem. The composite structure is then replaced by an equivalent homogeneous material having the calculated effective properties. We combine the features of two techniques: one is the definition of a displacement field for the fluid phase to allow for a definition of a continuous displacement field across the microstructure and the other is the $FE^2$ numerical homogenization that couples the macroscale with the RVE scale via gauss points.

研究の動機と目的

• マクロスケールで固体と流体相が共存する流体で満たされた多孔質固体の堅牢な数値均質化フレームワークの構築を目的とする。
• 固体変位と流体速度の次元不一致を解消するため、流体相に連続的な変位場を定義することを目的とする。
• ヒル＝マンデル条件を満たす周期的境界条件を用いて、マクロスケールとRVEスケールの問題間のエネルギー的一致性を確保することを目的とする。
• 固定応力分割法を避けるために、RVEスケールで結合した水理・機械的系を一本化して解くことを目的とする。
• マクロスケールの有限要素解析に使用するため、RVEスケールの解から均質化されたマクロスケールの接線剛性行列および第1ピオラ・クリストッフ応力を計算することを目的とする。

提案手法

• アルゴリズムは、マクロスケールの有限要素メッシュの各ガウス点がRVEに対応する $FE^{2}$ フレームワークを採用する。
• 固体および流体相の両方のための変位ベースの定式化を用い、微視的構造全体にわたる変位場の連続性を保証する。
• スケール分離を実現するため、マクロスケールの変形勾配 $\mathbf{F}_M$ および圧力勾配 $\nabla_X\tilde{p}$ を用いてRVEに周期的境界条件を適用する。
• RVEスケールの連立方程式系は、固体および流体の自由度を結合した混合有限要素法により解き、行列系 $\begin{bmatrix}\mathbf{K}_{uu}&\mathbf{K}_{up}\\ \mathbf{K}_{pu}&\mathbf{K}_{pp}\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\delta\mathbf{u}\\ \delta p\end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}\delta\mathbf{f}_s\\ \delta\mathbf{f}_p\end{Bmatrix}$ を得る。
• 均質化された第1ピオラ・クリストッフ応力は体積平均化された境界力として計算される：$\delta\mathbf{P}_{s_M} = \frac{1}{|\Omega_s|}\sum_{i=1}^4 \delta\mathbf{f}_s^{(i)} \otimes \mathbf{X}^{(i)}$。流体相に対しても同様の式が成り立つ。
• 得られたマクロスケールの接線剛性行列 $\mathbf{K}_M$ はRVEスケールの応答からアセンブルされ、マクロスケールのニュートン・ラプソン反復で変形勾配を更新するために用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多孔質微細構造において、固体相と流体相の両方に一貫した変位場を定義することで、一本化された均質化を実現する方法は何か？
• RQ2 マクロスケールとマイクロスケールの間でエネルギー的一致性を確保するためのRVE上の境界条件は何か？ これはヒル＝マンデル条件を満たす必要がある。
• RQ3 有限要素法を用いた二スケールアプローチにより、流体で満たされた多孔質固体の結合水理・機械的挙動を効率的に均質化する方法は何か？
• RQ4 周期的境界条件が、マクロスケールモデルの正確で代表的な有効特性を達成するために果たす役割は何か？
• RQ5 RVEスケールの連立方程式系をどのように定式化すれば、均質化されたマクロスケールの接線剛性行列および第1ピオラ・クリストッフ応力を効率的に計算できるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムにより、RVEスケールで固体・流体問題を一本化して解くことが可能となり、固定応力分割法に起因する収束問題を回避できた。
• RVEに適用された周期的境界条件はヒル＝マンデル条件を満たしており、スケール間のエネルギー的一致性が保証された。
• 流体相に変位場を用いることで、微細構造全体にわたる一貫した運動学的記述が可能となり、固体変位と流体速度の次元不一致が解消された。
• 均質化された第1ピオラ・クリストッフ応力は体積平均化された境界力として計算され、RVEスケールの力と幾何形状に基づく明示的表現が導出された。
• マクロスケールの接線剛性行列 $\mathbf{K}_M$ は、増分的変形勾配および圧力勾配を用いてRVEスケールの応答からアセンブルされ、マクロスケール問題における一貫した有限要素更新が可能となった。
• アルゴリズムフレームワークは、既存の有限要素コードへの効率的実装を想定しており、マクロスケールのニュートン・ラプソン反復中に各ガウス点でRVE計算が実行される構造となっている。