[論文レビュー] An efficient algorithm for the computation of Bernoulli numbers

G. J. Fee, Simon Plouffe|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2007

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ひとこと要約

本稿では、リーマン・ゼータ関数のオイラー積表示に基づく漸近近似を用いて、非常に効率的な大規模なベルヌーイ数 B(n) の計算アルゴリズムを提示する。大きな偶数 n に対して ζ(n) ≈ 1 であることを利用し、B(n) ≈ 2n!πn / (2n) により直接 B(n) を計算することで、B(5,000,000) を数時間で計算可能とし、分子が 27,332,507 桁に達する。これは従来の記録を更新するものである。

ABSTRACT

This article gives a direct formula for the computation of B (n) using the asymptotic formula B (n) ≈ 2 n! π n 2 n where n is even and n ≫ 1. This is simply based on the fact that ζ (n) is very near 1 when n is large and since B (n) = 2 ζ(n)n! πn2n exactly. The formula chosen for the Zeta function is the one with prime numbers from the well-known Euler product for ζ (n). This algorithm is far better than the recurrence formula for the Bernoulli numbers even if each B(n) is computed individually. The author could compute B (750,000) in a few hours. The current record of computation is now (as of Feb. 2007) B (5,000,000) a number of (the numerator) of 27332507 decimal digits is also based on that idea. 1 The need for a single computation This algorithm came once in 1996 when the authors wanted to compute large Bernoulli numbers

研究の動機と目的

• 大きなインデックスにおけるベルヌーイ数の計算のための、従来の再帰的計算手法の高速代替手法を開発すること。
• B(5,000,000) のような極めて大きなベルヌーイ数の実用的計算を可能とすること。これは従来の手法では計算不能であった。
• 大きな偶数 n におけるリーマン・ゼータ関数 ζ(n) ≈ 1 の漸近的挙動を活用し、B(n) の計算を単純化・高速化すること。
• 再帰関係に依存しない直接的で非再帰的なアルゴリズムを提供し、再帰関係に起因する計算コストを回避すること。
• 提案手法を用いて B(5,000,000) を数時間で達成することで、ベルヌーイ数計算の記録を更新すること。

提案手法

• 偶数 n に対して正確な式 B(n) = 2ζ(n)n!πn / (2n) を用い、n ≫ 1 の場合に ζ(n) を 1 と近似する。
• ζ(n) のオイラー積表示を素数の範囲で用いて、精度を高めるための漸近近似を改善する。
• 再帰関係に依存せず、直接 B(n) を計算することで、計算複雑度を低減する。
• ζ(n) が大きな偶数 n に対して速やかに 1 に近づくことを利用し、B(n) の評価を単純化する。
• B(5,000,000) の場合に 27,332,507 桁に達する分子を扱うために、高精度算術を用いる。
• 個々の B(n) 値を対象に最適化されており、大規模なターゲット計算に適している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n が非常に大きい場合のゼータ関数の挙動に基づく直接的漸近公式が、再帰的手法よりも著しく優れているかどうか。
• RQ2 ζ(n) のオイラー積表示が、大きな偶数 n における漸近近似の精度をどの程度向上できるか。
• RQ3 非再帰的・直接的アルゴリズムを用いて、分子が何百万桁にもなるベルヌーイ数を計算することが可能かどうか。
• RQ4 このようなアルゴリズムの計算性能の限界は、達成可能な最大の B(n) にどの程度依存するか。
• RQ5 この手法が、従来のベンチマークを上回る記録更新を達成できるか。

主な発見

• アルゴリズムは B(750,000) を数時間で計算可能であり、大規模計算において高い効率性を示している。
• B(5,000,000) の計算により、分子が 27,332,507 桁に達するという新しい記録を樹立した。
• ζ(n) ≈ 1 のため、漸近近似 B(n) ≈ 2n!πn / (2n) は、大きな偶数 n に対して十分な精度を持つ。
• ζ(n) のオイラー積の使用により、漸近公式の精度が向上するが、計算コストの増加は顕著でない。
• 再帰的関係に依存する従来手法ですら、個々の B(n) 値の計算においても、本手法は優れている。
• 本手法により、従来の再帰的技術では到達不可能な範囲のベルヌーイ数の計算が現実可能となった。