[論文レビュー] An efficient algorithm for the computation of the trace of the symmetrized product of an arbitrary number of Dirac matrices with two indices

Fernando Izaurieta, R. Ramirez-Gomez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2011

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、2n次元時空におけるn個のディラック・ガンマ行列の対称化積のトレースを計算する、非常に効率的なアルゴリズムを提示する。これは、チャーン・シモンズ重力理論を構築する上で重要なステップである。トレースをnの整数分割sの和として表現し、計算可能な係数αsを用いることで、再帰関係を用いることでn ≤ 25の範囲で1分未塔で結果を計算可能となる。これは、既存のツールに比べて著しく優れている。

ABSTRACT

A genuine gauge theory for the Poincare, de Sitter or anti-de Sitter algebras can be constructed in (2n-1)-dimensional spacetime by means of the Chern-Simons form, yielding a gravitational theory that differs from General Relativity but shares many of its properties, such as second order field equations for the metric. The particular form of the Lagrangian is determined by a rank n, symmetric tensor invariant under the relevant algebra. In practice, the calculation of this invariant tensor can be reduced to the computation of the trace of the symmetrized product of n Dirac Gamma matrices \Gamma_{ab} in 2n-dimensional spacetime. While straightforward in principle, this calculation can become extremely cumbersome in practice. For large enough n, existing computer algebra packages take an inordinate long time to produce the answer or plainly fail having used up all available memory. In this talk we show that the general formula for the trace of the symmetrized product of 2n Gamma matrices \Gamma_{ab} can be written as a certain sum over the integer partitions s of n, with every term being multiplied by a numerical coefficient \alpha_{s}. We then give a general algorithm that computes the \alpha-coefficients as the solution of a linear system of equations generated by evaluating the general formula for different sets of tensors B^{ab} with random numerical entries. A recurrence relation between different coefficients is shown to hold and is used in a second, algorithm to greatly speed up the computations. Runtime of the minimal algorithm stays below 1 min on a typical desktop computer for up to n=25, which easily covers all foreseeable applications of the trace formula.

研究の動機と目的

• 大きなnにおけるディラック・ガンマ行列の対称化積のトレースを計算する際の計算ボトルネックを解消すること。
• n > 10で失敗するか、現実的に遅くなる既存のコンピュータ代数システムの制限を克服すること。
• ゲージ理論的重力モデルへの応用を想定し、スケーラブルなアルゴリズムを構築してトレースを効率的に計算すること。
• トレース式の計算を高速化するために、係数αs間の再帰関係を導出すること。

提案手法

• トレースは、nの整数分割sの和として表現され、各項は数値係数αsで重み付けられる。
• 係数αsは、ランダムなテンソル入力B^{ab}を用いてトレース式を評価することで得られる一次方程式系を解くことで計算される。
• 係数αs間の再帰関係が導出され、計算複雑度の低減に活用される。
• アルゴリズムは、n ≤ 25の全範囲で高いパフォーマンスを維持する最小限の実装形態で実装されている。
• 記号的爆発を避けるために、記号的単純化ではなく、数値評価と線形代数に依存している。
• ランダムなテンソル構成でアルゴリズムをテストし、既知の結果と整合することを確認することで、手法の妥当性が検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大きなnに対して、n個のディラック・ガンマ行列の対称化積のトレースをどのように効率的に計算できるか？
• RQ2 トレース式の分割に基づく展開における係数αsの構造は何か？
• RQ3 計算を高速化するために、係数αs間の再帰関係を導出できるか？
• RQ4 n > 10の範囲で、提案されたアルゴリズムは既存のコンピュータ代数システムと比較してどの程度のパフォーマンスを示すか？
• RQ5 この手法を用いて、信頼性と高速性を保ちながらトレースを計算できる最大のnは何か？

主な発見

• 標準的なデスクトップコンピュータ上での実行で、n ≤ 25の範囲で、n個のディラック・ガンマ行列の対称化積のトレースが1分未塔で計算可能である。
• 係数αsは、ランダムなテンソル入力B^{ab}から生成される一次方程式系を解くことで決定され、数値的安定性と正しさが保証される。
• 係数αs間の再帰関係が導出され、計算時間を顕著に短縮するのに使用された。
• 従来のコンピュータ代数システムが大きなnで記憶領域のオーバーフローとパフォーマンス劣化を示すのに対し、本手法はそれらを回避する。
• 本手法は頑健でスケーラブルであり、チャーン・シモンズ重力理論におけるすべての予想される応用をカバーする。
• 実行時間ベンチマークを通じて、理論物理学の応用分野における実用性が明確に示された。