[論文レビュー] An efficient dynamical low-rank algorithm for the Boltzmann-BGK equation close to the compressible viscous flow regime

Lukas Einkemmer, Jingwei Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$f = Mg$ において $M$ をマクスウェル分布とし、$g$ のみに低ランク近似を適用することにより、圧縮性ナビエ＝ストークス極限を効率的に捉える、ボルツマン＝BGK方程式のための新規な動的低ランク積分法を提案する。この手法により、圧縮性領域でも正確な低ランクシミュレーションが可能となり、ランク要件が著しく低減され、衝撃波や急激な勾配の取り扱いも安定になる。

ABSTRACT

It has recently been demonstrated that dynamical low-rank algorithms can provide robust and efficient approximation to a range of kinetic equations. This is true especially if the solution is close to some asymptotic limit where it is known that the solution is low-rank. A particularly interesting case is the fluid dynamic limit that is commonly obtained in the limit of small Knudsen number. However, in this case the Maxwellian which describes the corresponding equilibrium distribution is not necessarily low-rank; because of this, the methods known in the literature are only applicable to the weakly compressible case. In this paper, we propose an efficient dynamical low-rank integrator that can capture the fluid limit -- the Navier-Stokes equations -- of the Boltzmann-BGK model even in the compressible regime. This is accomplished by writing the solution as $f=Mg$, where $M$ is the Maxwellian and the low-rank approximation is only applied to $g$. To efficiently implement this decomposition within a low-rank framework requires, in the isothermal case, that certain coefficients are evaluated using convolutions, for which fast algorithms are known. Using the proposed decomposition also has the advantage that the rank required to obtain accurate results is significantly reduced compared to the previous state of the art. We demonstrate this by performing a number of numerical experiments and also show that our method is able to capture sharp gradients/shock waves.

研究の動機と目的

• 従来の低ランク手法がマクスウェル分布が低ランクでないために失敗する圧縮性粘性流れ領域におけるボルツマン＝BGK方程式の効率的シミュレーションという課題に対処すること。
• Knudsen数の広い範囲（$\varepsilon \ll 1$ の流体領域および遷移領域）にわたり、精度と効率を維持する強固な数値フレームワークの構築。
• 低ランク近似を用いても物理的挙動を保ちながら、キネティック流れにおける急激な勾配や衝撃波を正確に解像すること。
• 直接 $f$ の低ランク近似と比較して、$f = Mg$ の分解を活用することで、正確なシミュレーションに必要なランクが著しく低減されることを示すこと。

提案手法

• 解を $f = Mg$ として分解し、$M$ を平衡状態のマクスウェル分布とし、非平衡成分 $g$ のみに低ランク近似を適用する。
• 低ランク構造を維持しながら $g$ を時間発展させる、プロジェクタースプリット法に基づく動的低ランク積分法を用いる。
• 等温の場合、高速フーリエ変換（FFT）を用いたスペクトル法により、畳み込み型係数を効率的に評価する。
• 空間的および速度的離散化にスペクトルコロケーション有限差分法（SCFD）を適用し、移流項の安定性を確保するために上流化を用いる。
• 小$\varepsilon$極限におけるナビエ＝ストークス方程式との漸近的一致性を正当化するために、チャップマン＝エンスコの展開を用いる。
• 適応的時間刻みと、高ランク（$r=60$）または高分解能スペクトル法で計算された基準解との検証を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マクスウェル分布が低ランクでない場合でも、ボルツマン＝BGK方程式の圧縮性ナビエ＝ストークス極限を正確に捉えることができる動的低ランク積分法を設計できるか？
• RQ2 直接 $f$ を低ランク近似するのと比較して、$f = Mg$ の分解が、正確な近似に必要なランクを著しく低減するか？
• RQ3 計算効率を維持しながら、キネティック流れにおける急激な勾配や衝撃波を解像できるか？
• RQ4 空間的に不均一な $\varepsilon$ 分布を含むさまざまなKnudsen数において、本手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ5 流体極限（$\varepsilon \to 0$）および遷移領域（$\varepsilon \sim 0.01$）における収束性と精度はいかがなものか？

主な発見

• $\varepsilon = 10^{-5}$ の場合、基準解と区別できない結果がランク $r=3$ で達成され、流体領域では非常に低いランクで十分であることが示された。
• $\varepsilon = 0.1$ および $\varepsilon = 0.5$ の場合、ビーム摂動の指数的減衰が理論的予測（$\sim \exp(-t/\varepsilon)$）と一致して正確に再現された。
• 空間的に変化する $\varepsilon$ を持つビーム緩和問題において、熱化速度が $\varepsilon$ に応じて適切に変化し、あらゆる領域で物理的一致性が確認された。
• 空間的に変化する $\varepsilon$ の場合、$r=10$ では基準解（$r=60$）とよく一致するが、$r=3$ では顕著な誤差が生じ、正確性を確保するための実用的ランクの閾値が示された。
• 爆発問題における半径方向に伝播する衝撃波を、低ランクでも鋭い波面解像度を維持しながら正しく解像した。
• 等温の場合に畳み込みに基づく係数評価にFFTを用いることで、$f = Mg$ の分解を効率的に実装でき、計算コストが低減された。