[論文レビュー] An efficient linear programming method for Optimal Transportation

Adam M. Oberman, Yuanlong Ruan|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2015

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 6被引用数 54

ひとこと要約

本稿では、任意のコスト関数を伴う最適輸送問題を解くための線形計画法に基づく手法を提示する。グリッドの細分化と重心射影を用いることで、線形時間および線形メモリの複雑度を達成する。非凸領域、部分的OT、バーチャル中心問題に対し、高精度かつスケーラブルな解法を可能にし、弱収束が証明され、射影により高解像度のマップが回復される。

ABSTRACT

An efficient method for computing solutions to the Optimal Transportation (OT) problem with a wide class of cost functions is presented. The standard linear programming (LP) discretization of the continuous problem becomes intractible for moderate grid sizes. A grid refinement method results in a linear cost algorithm. Weak convergence of solutions is stablished. Barycentric projection of transference plans is used to improve the accuracy of solutions. The method is applied to more general problems, including partial optimal transportation, and barycenter problems. Computational examples validate the accuracy and efficiency of the method. Optimal maps between nonconvex domains, partial OT free boundaries, and high accuracy barycenters are presented.

研究の動機と目的

• 2次コストを超える一般のコスト関数を伴う最適輸送問題に対して、スケーラブルで高精度な数値的手法を開発すること。
• 中程度のグリッドサイズに対しても、標準的なLP離散化が計算的に不切実である問題を克服すること。
• 重心射影を用いて、輸送計画から最適マップを高精度に回復すること。
• 部分的OTやバーチャル中心計算などの一般化された問題へこの手法を拡張すること。
• 離散的LP近似が連続問題に弱収束することを確立すること。

提案手法

• マルチスケールのグリッド細分化手順を用いることで、解法時間およびメモリ使用量を線形に保ち、密行列のLP解法を回避する。
• 連続的OT問題をグリッド上での有限次元線形計画問題として定式化し、自然な離散化を保証する。
• 輸送計画を近似的な最適マップに変換するために重心射影を適用し、精度を顕著に向上させる。
• スパarsityの活用と階層的細分化を活用した標準LPソルバを用いることで、効率性を維持する。
• 安定性の結果を用いて、離散解の弱収束を連続問題に確立する。
• 部分的OTおよびバーチャル中心問題は、これらをLPとして再定式化することで、本手法に一般化できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のコスト関数を伴う最適輸送問題に対して、線形計画法的手法が線形複雑度を達成できるか？
• RQ2 重心射影は、輸送計画から得られる最適マップの精度をどのように向上させるか？
• RQ3 離散的LP近似が連続的OT問題に弱収束する挙動はいかなるものか？
• RQ4 非凸領域において、部分的OTの自由境界を高精度に計算できるか？
• RQ5 形状やヒストグラムの高解像度バーチャル中心を計算する際、本手法はどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 本手法は線形時間および線形メモリの複雑度を達成し、ラップトップで最大500,000変数の問題を数分で解ける。
• 安定性の結果を用いて、離散的LP解が連続問題に弱収束することを確立した。
• 重心射影により、非凸領域や非2次コストに対しても、高精度な最適マップの回復が可能である。
• 部分的OTにおいて、自由境界を高精度に計算でき、重なり合う放物線の例では、過剰質量比が小さい場合に自由境界が全体の交差領域をカバーすることが判明した。
• 1024²グリッド上で計算されたバーチャル中心は、ぼやけのない明確な境界を示し、エントロピー正則化法を上回る性能を示した。
• 3つのアニュラーセクションの高解像度バーチャル中心を生成し、コスト指数pが1.05から9に増加するに従い、支持領域が収縮することが観察された。