[論文レビュー] An efficient mass lumping scheme for isogeometric analysis based on approximate dual basis functions

Susanne Held, Sascha Eisenträger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2023

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、等参写像解析（IGA）における高次収束性を有する質量ローディングスキームを、近似双対基底関数（AD）および逆グラム行列に基づく双対関数（IG）をテスト関数として用いて提案する。グローバル作用素を介した系の変換により、標準的な行和ローディングよりも精度が向上した対角質量行列を達成し、計算コストを低減しつつ安定性を維持した効率的な明示的動的シミュレーションを可能にする。

ABSTRACT

In this contribution, we provide a new mass lumping scheme for explicit dynamics in isogeometric analysis (IGA). To this end, an element formulation based on the idea of dual functionals is developed. Non-Uniform Rational B-splines (NURBS) are applied as shape functions and their corresponding dual basis functions are applied as test functions in the variational form, where two kinds of dual basis functions are compared. The first type are approximate dual basis functions (AD) with varying degree of reproduction, resulting in banded mass matrices. Dual basis functions derived from the inversion of the Gram matrix (IG) are the second type and already yield diagonal mass matrices. We will show that it is possible to apply the dual scheme as a transformation of the resulting system of equations based on NURBS as shape and test functions. Hence, it can be easily implemented into existing IGA routines. Treating the application of dual test functions as preconditioner reduces the additional computational effort, but it cannot entirely erase it and the density of the stiffness matrix still remains higher than in standard Bubnov-Galerkin formulations. In return applying additional row-sum lumping to the mass matrices is either not necessary for IG or the caused loss of accuracy is lowered to a reasonable magnitude in the case of AD. Numerical examples show a significantly better approximation of the dynamic behavior for the dual lumping scheme compared to standard NURBS approaches making use of row-sum lumping. Applying IG yields accurate numerical results without additional lumping. But as result of the global support of the IG dual basis functions, fully populated stiffness matrices occur, which are entirely unsuitable for explicit dynamic simulations. Combining AD and row-sum lumping leads to an efficient computation regarding effort and accuracy.

研究の動機と目的

• 明示的動的解析における従来の行和質量ローディングの非効率性を解消すること。
• 双対基底関数を用いた高次収束性を有する質量ローディングスキームを開発し、精度と計算効率を向上させること。
• 変換作用素を介して既存のIGAコードへのシームレスな統合を可能とし、実装のオーバーヘッドを最小限に抑えること。
• 二種類の双対基底関数、近似双対（AD）および逆グラム行列（IG）の性能を、動的シミュレーションにおけるスパarsity、バンド幅、計算コストの観点から分析・比較すること。

提案手法

• NURBSを形状関数として用い、双対基底関数をテスト関数とするIGAにおける双対テスト関数に基づく変分形式を定式化する。
• 二種類の双対基底関数を導入する：再現次数を制御可能な近似双対（AD）と、グラム行列の逆行列から導かれる逆グラム行列（IG）。
• 一貫した質量行列を対角形式に変換する変換作用素を適用し、効率的な時間積分を可能にする。
• 積分のためのモーメント適合則を用いてアセンブリコストを低減しつつ、精度を保持する。
• ADに基づく質量行列に対して行和ローディングを適用し、対角行列化を実現するが、対角優勢構造のため精度損失が最小限に抑えられる。
• ブラックボックス型の操作として実装することで、コアのアセンブリルーチンを変更せずに既存のIGAソルバーに容易に統合可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対基底関数を用いて、明示的動的解析において標準的な行和ローディングを上回る精度と効率性を有するIGAにおける質量ローディングスキームを構築可能か？
• RQ2 双対基底関数の種別（AD対IG）が、剛性行列および質量行列のスパarsity、バンド幅、計算コストに与える影響はいかほどか？
• RQ3 AD関数における再現次数の程度が、精度および計算パフォーマンスに与える影響はどの程度か？
• RQ4 提案手法は、既存のIGAコードに最小限の変更で実装可能であり、精度を維持した上で時間積分を高速化可能か？
• RQ5 AD双対関数と行和ローディングの組み合わせは、明示的動的シミュレーションにおいて安定で精度が高く、計算的に効率的な定式化を実現できるか？

主な発見

• 提案された双対ローディングスキームは、特に高次NURBS（p = 2〜5）において、Loma Prieta地震シミュレーションを通じて、従来の行和ローディングに比べて動的応答の精度が顕著に向上している。
• 最大再現次数（q = p）を持つ近似双対（AD）関数は、最高の精度を達成し、対角優勢な質量行列を維持することで、追加の行和ローディングに起因する誤差を低減する。
• 逆グラム行列（IG）双対基底関数は、一貫した対角質量行列を生成するが、完全な再現能力を有し、一貫した定式化と同等の精度を達成するが、剛性行列が完全に密集するため、明示的動的解析には不適切である。
• ADに基づくスキームの計算コストは、標準的なバブノフ・ガレルキン法に比べてバンド幅が増加するが、対角質量行列による高速な時間積分のおかげで、その影響を上回る。
• 時間計測の結果、ADローディングスキームは一貫した定式化よりも効率的であり、対角質量行列の利点が実装のオーバーヘッドを上回っている。
• 本手法はブラックボックス型の変換として実装可能であり、コアのアセンブリルーチンを変更せずに既存のIGAコードへの統合が容易である。