[論文レビュー] An efficient multigrid solver for isogeometric analysis

Álvaro Pé de la Riva, Carmen Rodrigo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2018

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ひとこと要約

本稿では、スプライン次数 $p$ に依存しない収束を達成する、重ね合わせ型乗法的スワーツ smoother を用いた、等形状有限要素法（IGA）のための頑健な幾何的 multigrid スolver を提案する。この手法は、V-サイクルに1回の前スムージングのみを用い、スプライン次数 $p$ とメッシュサイズ $h$ の両方に依存しない収束性を示し、局所フーリエ解析および複雑な幾何形状における数値実験により検証されている。

ABSTRACT

The design of fast solvers for isogeometric analysis is receiving a lot of attention due to the challenge that offers to find an algorithm with a robust convergence with respect to the spline degree. Here, we analyze the application of geometric multigrid methods to this type of discretizations, and we propose a multigrid approach based on overlapping multiplicative Schwarz methods as smoothers. The size of the blocks considered within these relaxation procedures is adapted to the spline degree. A simple multigrid V-cycle with only one step of pre-smoothing results to be a very efficient algorithm, whose convergence is independent on the spline degree and the spatial discretization parameter. Local Fourier analysis is shown to be very useful for the understanding of the problems encountered in the design of a robust multigrid method for IGA, and it is performed to support the good convergence properties of the proposed solver. In fact, an analysis for any spline degree and an arbitrary size of the blocks within the Schwarz smoother is presented for the one-dimensional case. The efficiency of the solver is also demonstrated through several numerical experiments, including a two-dimensional problem on a nontrivial computational domain.

研究の動機と目的

• スプライン次数 $p$ の増加に伴い収束性が劣化する multigrid 法の課題に対処すること。
• 高次 Bスプラインおよび NURBS 離散化においても、効率的かつ頑健に動作する幾何的 multigrid 法を開発すること。
• スプライン次数 $p$ の増加に伴い収束性が不安定化する標準的スムージング手法（例：ガウス・ザイデル）の限界を克服すること。
• スプライン次数に応じてブロックサイズを調整する重ね合わせ型スムージング手法を設計すること。
• 例えば、NURBSで表現される四分の円環領域のような複雑な幾何形状においても、実用的応用性を検証すること。

提案手法

• V-サイクル構造を有する幾何的 multigrid フレームワークを採用し、前スムージングを1回のみ実施する。
• スプライン次数 $p$ に応じて動的にブロックサイズを調整する重ね合わせ型乗法的スワーツスムージングを用いる。
• 収束速度の向上を図るため、乗法的スワーツスムージングの色分け版を実装する。
• 任意の $p$ およびブロックサイズに対して1次元で収束挙動を解析・検証するため、局所フーリエ解析（LFA）を適用する。
• Bスプラインおよび NURBS を用いた正確な幾何形状表現を用いて multigrid スolver を構築し、$C^{p-1}$ までの滑らかさを保持する。
• 解くべき線形方程式系として、ガラーキン等形状有限要素離散化による剛性行列を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等形状有限要素法におけるスプライン次数 $p$ に依存しない頑健な幾何的 multigrid 法を構築できるか？
• RQ2 スワーツスムージングにおけるブロックサイズの選択が、高次 IGA 離散化の収束に与える影響は何か？
• RQ3 適応的スワーツスムージングを用いる場合、1回の前スムージングで十分な収束性が得られるか？
• RQ4 局所フーリエ解析は、1次元において任意の $p$ およびブロックサイズに対して multigrid スolver の収束挙動を予測できるか？
• RQ5 本手法は、NURBSで表現される非自明な計算領域（例：四分の円環領域）に対しても有効であるか？

主な発見

• 提案手法の multigrid スolver は、スプライン次数 $p$ とメッシュサイズ $h$ の両方に依存しない収束性を示し、残差を $10^{-8}$ まで低減するために4〜5回の $V(1,0)$-サイクルで十分である。
• 四分の円環領域において、$p=2$ から $p=8$ までにわたり、すべてのテストで反復回数が4回以下に保たれ、頑健性が確認された。
• スプライン次数に適応したブロックサイズを有する色分けされた乗法的スワーツスムージングを用いることで、標準的スムージング手法に比べて収束性が著しく向上した。
• 局所フーリエ解析により、1次元において任意のスプライン次数 $p$ および任意のブロックサイズに対して、本手法の頑健性が裏付けられた。
• 2次元問題、特に非自明な四分の円環領域を含む数値実験において、$p$ および $h$ の値にかかわらず一貫した性能を示した。
• 計算時間は効率的にスケーリングされ、高次の $p$ や細かいメッシュでも、わずかな増加にとどまり、本手法の効率性が確認された。