[論文レビュー] An efficient numerical algorithm for the L2 optimal transport problem with applications to image processing

Louis-Philippe Saumier Demers|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、周期的で非一様な確率密度を伴うL2最適輸送問題を効率的に解くための数値アルゴリズムを提示する。Monge-Ampère方程式を扱えるように、damped Newton法を拡張した手法であり、FFTに基づく線形ソルバと4次精度有限差分法を組み合わせることで、高い精度と計算効率を達成している。画像処理タスク、特に多発性硬化症の検出においても、強固な性能を示している。

ABSTRACT

We present a numerical method to solve the optimal transport problem with a quadratic cost when the source and target measures are periodic probability densities. This method is based on a numerical resolution of the corresponding Monge-Amp\`ere equation. We extend the damped Newton algorithm of Loeper and Rapetti \cite{LR} to the more general case of a non uniform density which is relevant to the optimal transport problem, and we show that our algorithm converges for sufficiently large damping coefficients. The main idea consists of designing an iterative scheme where the fully nonlinear equation is approximated by a non-constant coefficient linear elliptic PDE that we solve numerically. We introduce several improvements and some new techniques for the numerical resolution of the corresponding linear system. Namely, we use a Fast Fourier Transform (FFT) method by Strain \cite{St}, which allows to increase the efficiency of our algorithm against the standard finite difference method. Moreover, we use a fourth order finite difference scheme to approximate the partial derivatives involved in the nonlinear terms of the Newton algorithm, which are evaluated once at each iteration; this leads to a significant improvement of the accuracy of the method, but does not sacrifice its efficiency. Finally, we present some numerical experiments which demonstrate the robustness and efficiency of our method on several examples of image processing, including an application to multiple sclerosis disease detection.

研究の動機と目的

• 周期的で非一様な確率測度を伴うL2最適輸送問題を、数値的に効率的かつ高精度に解く手法の開発。
• LoeperとRapettiのdamped Newtonアルゴリズムを、最適輸送に適した非一様密度に対応できるように拡張すること。
• 高度な数値技術を用いて、Monge-Ampère方程式の解法における計算効率と精度を向上させること。
• 実際の画像処理シナリオ、特に医療画像処理を含む、実用的応用における本手法の強固さと適用可能性を示すこと。

提案手法

• 本手法は、反復的damped Newtonスキームを用いてMonge-Ampère方程式を解き、各ステップで完全非線形PDEを線形化する。
• 各ニュートン反復において、非線形方程式は係数が変化する線形楕円型PDEに近似される。
• 非線形項における空間微分は、速度を落とさずに精度を向上させるために4次精度有限差分法で離散化される。
• 各反復で生じる線形系は、Strainのアプローチに基づくFFT法を用いて、効率的に解かれる。
• 収束を保証するため、十分に大きな値に対しては減衰係数戦略が採用される。
• 周期的境界条件および非一様な元画像とターゲット密度を扱えるように、本手法が適応化されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 damped Newton法をL2最適輸送問題における非一様密度に効果的に拡張できるか？
• RQ2 Monge-Ampère方程式の解法にかかる計算コストを、高精度を維持したまま低減できるか？
• RQ3 FFTソルバと高次精度有限差分法を組み合わせることで、最適輸送アルゴリズムの性能はどの程度向上するか？
• RQ4 提案手法は、実世界の画像処理応用において、強固かつ効率的な解を得られるか？

主な発見

• 十分に大きな減衰係数に対して、アルゴリズムは収束を示し、数値的安定性が保証される。
• FFTベースの線形ソルバの使用により、標準的な有限差分法と比較して、計算効率が顕著に向上する。
• 4次精度有限差分法により、計算オーバーヘッドを増加させることなく、解の精度が向上する。
• 画像処理タスクを伴う数値実験において、本手法は高い精度と強健性を達成している。
• 本手法は、最適輸送に基づく画像登錦を用いた多発性硬化症の検出を含め、医療画像解析に成功裏に応用されている。