[論文レビュー] An Efficient Polynomial Time Approximation Scheme for Minimizing the Total Weighted Completion Time on Uniformly Related Machines

Leah Epstein, Asaf Levin|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2014

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、リソース制約のない均一関連マシンにおける総加重完了時間の最小化問題に対して、効率的な多項式時間近似スキーム（EPTAS）を提示する。リリース日が存在する場合とない場合の両方を含め、強いかつNP困難なこのスケジューリング問題において、長年の未解決問題を解消した。時間 f(1/ε)·poly(n) で (1+ε)-近似を達成する、新しい近似枠組みを設計した。この枠組みは、時間伸長、構成ベースの動的計画法、および注意深いジョブグループ化を用いる。

ABSTRACT

We study classic scheduling problems on uniformly related machines. Efficient polynomial time approximation schemes (EPTAS's) are fast and practical approximation schemes. New methods and techniques are essential in developing such improved approximation schemes, and their design is a primary goal of this research agenda. We present EPTAS's for the scheduling problem of a set of jobs on uniformly related machines so as to minimize the total weighted completion time, both for the case with release dates and its special case without release dates. These problems are NP-hard in the strong sense, and therefore EPTAS's are the best possible approximation schemes unless P=NP. Previously, only PTAS's were known for these two problems, while an EPTAS was known only for the special case of identical machines without release dates.

研究の動機と目的

• 均一関連マシンにおける総加重完了時間の最小化問題に対して、効率的な多項式時間近似スキーム（EPTAS）を開発すること。これは強いかつNP困難な問題である。
• 従来、唯一知られていた同種マシンの特殊ケースに限るEPTASを越えて、一般の均一関連マシンへの拡張を達成すること。
• リリース日ありとありなしの両方のケースを扱い、これらはいずれも強いかつNP困難である。
• 従来のPTASに比べて現実的でない実行時間を持つものとは異なり、実用的かつ高速な近似スキームを設計すること。

提案手法

• 時間伸長を (1+δ) 倍することで、スケジュールを構成ベースの動的計画法に適した形に変換する。
• ジョブはサイズとリリース時刻に基づいて構成にグループ化され、マシン間の可能な構成の組み合わせを探索する。
• ジョブの再割り当てと時間間隔の調整に起因するコスト増加を注意深く制御するため、仮想スケジュールを構築する。
• 事前処理ステップで小さなジョブを削除し、後で再割り当てすることで、コスト増加を有界に保つ。
• マシン上の時間間隔を疎（sparse）と非疎（non-sparse）に分類し、それぞれに異なるコスト解析手法を適用する。
• 最終的な解は、部分スケジュールの組み合わせ、未割り当てジョブを専用マシン（「粉ミカンマシン」）に割り当てることで構築され、δパrameterを用いて総コスト増加を有界に保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強いかつNP困難であるにもかかわらず、リリース日を伴う均一関連マシンにおける総加重完了時間問題に対してEPTASを設計することは可能か？
• RQ2 この問題に対して、時間 f(1/ε)·poly(n) で (1+ε)-近似を達成することは可能か？ これにより、従来のPTASを改善できるか？
• RQ3 構成制約および時間間隔の調整に起因するジョブ再割り当てに起因するコスト増加をどのように有界に保つか？
• RQ4 近似誤差が有界となる構成ベースの動的計画法を設計するために、最適解のどのような構造的性質を利用できるか？
• RQ5 粉ミカンマシン技術を用いることで、残りのジョブをスケジューリング可能であり、(1+ε)-近似を維持できるか？

主な発見

• 本稿では、リリース日を伴う均一関連マシンにおける総加重完了時間問題に対して、EPTASを提示し、時間 f(1/ε)·poly(n) で (1+ε)-近似を達成した。
• コストバウンドは最適解のコストの (1+δ)^3 倍以内であり、δ = ε/3 とすると、(1+ε)-近似が達成される。
• ジョブ再割り当ておよび時間伸長に起因する総コスト増加は、(1+δ)^3 以内に有界であり、δ = ε/3 の場合、(1+ε) 以内に収まる。
• 未割り当てジョブの合計サイズが粉ミカンマシンの速度の δ^5 倍以内であるため、粉ミカンマシンにジョブをスケジューリングしてもコストバウンドを超過しないことが保証される。
• 非疎マシンでは、ジョブサイズの調整に起因するコスト増加は (1+δ)(1+δ^13) 以内に抑えられ、これは全体の (1+δ)^3 要因に含まれる。
• この枠組みにより、従来EPTASが知られていなかった、一般のリリース日を伴う均一関連マシンへのEPTASの拡張が成功した。