[論文レビュー] An efficient quantum algorithm for generative machine learning

Xun Gao, Zhengyu Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、もつれもつれ多くの体状態と特化したテンソルネットワーク構造を活用することで、古典的手法よりも指数的に効率的である複雑な確率分布を表現する量子生成モデル（QGM）を提案する。QGM はそのパラメータ化された量子回路に普遍的量子計算を埋め込むことで、特定の問題において学習および推論の指数的高速化を実現し、妥当な計算複雑性理論的仮定の下で生成的機械学習における明示的な量子優位性を示している。

ABSTRACT

A central task in the field of quantum computing is to find applications where quantum computer could provide exponential speedup over any classical computer. Machine learning represents an important field with broad applications where quantum computer may offer significant speedup. Several quantum algorithms for discriminative machine learning have been found based on efficient solving of linear algebraic problems, with potential exponential speedup in runtime under the assumption of effective input from a quantum random access memory. In machine learning, generative models represent another large class which is widely used for both supervised and unsupervised learning. Here, we propose an efficient quantum algorithm for machine learning based on a quantum generative model. We prove that our proposed model is exponentially more powerful to represent probability distributions compared with classical generative models and has exponential speedup in training and inference at least for some instances under a reasonable assumption in computational complexity theory. Our result opens a new direction for quantum machine learning and offers a remarkable example in which a quantum algorithm shows exponential improvement over any classical algorithm in an important application field.

研究の動機と目的

• 古典的手法と比較して生成的機械学習における指数的高速化を達成する量子アルゴリズムの開発を目的とする。
• 古典的要因グラフよりも表現力が向上した量子生成モデル（QGM）の設計を目的とする。
• QGM が妥当な計算複雑性仮定の下で、学習および推論の両方において指数的高速化を実現できることを証明することを目的とする。
• 量子生成モデルが普遍的量子計算を効率的に符号化できることを確立するフレームワークを構築することを目的とする。これにより、学習のための勾配計算が効率的に行える。

提案手法

• QGM は、固定された頂点関数とパラメータ化された単一キュービットユニタリ操作 $ M_i $ を持つ特別なテンソルネットワーク状態として構築され、量子状態の効率的準備を可能にする。
• モデルは、計算基底における一部のキュービットを測定することで確率分布を生成し、測定されないキュービットをトレースアウトすることで周辺確率を取得する。
• パラメータ化された量子回路は、最終状態の1キュービットを測定することで普遍的量子計算を符号化するように設計されており、効率的な勾配推定を可能にする。
• 本手法は、多項式的に有界されたスペクトルギャップを持つ親ハミルトニアンの構築に依存しており、これによりモデルの基底状態が普遍的量子計算を符号化することが保証される。
• アルゴリズムは後選択と量子回路を用いて、QGM フレームワーク内での普遍的量子コンピュータの作用をシミュレートする。
• KL発散度の勾配は、局所的オブザーバブルの期待値を用いて計算され、これにより量子回路を用いて効率的に推定可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子生成モデルは、古典的要因グラフを指数的に効率的に表現できるか？
• RQ2 提案された QGM は、古典的生成モデルと比較して、学習および推論において指数的高速化を実現できるか？
• RQ3 QGM を用いて KL 発散度の勾配を効率的に計算できるか？これは学習の主要ステップである。
• RQ4 QGM は普遍的量子計算を実行可能であり、任意の BQP 問題を解けるか？
• RQ5 親ハミルトニアンのスペクトルギャップは何か？また、系サイズに対して多項式的にスケーリングするか？

主な発見

• QGM は、ベイジアンネットワークやボルツマンマシンを含む、すべての実用的生成モデルを含む、任意の古典的要因グラフを効率的に表現可能である。
• QGM は、複雑な確率分布を表現する点で、古典的要因グラフよりも指数的に優れている。
• 量子ランダムアクセスメモリ（QRAM）が利用可能であるという仮定の下で、特定のインスタンスにおいて QGM の学習および推論プロセスが指数的高速化を達成する。
• KL 発散度の勾配は、量子回路を用いて多項式時間で推定可能であり、推定精度は $ \frac{1}{\text{poly}(n)} $ で上限が与えられる。
• 親ハミルトニアンのスペクトルギャップは $ \Omega(1/T^{14}) $ で下限が保証され、これは $ \frac{1}{\text{poly}(n)} $ に相当する。これにより、モデルの安定性および断熱的準備の効率性が保証される。
• モデルは普遍的量子計算を符号化しており、任意の BQP 問題の受容確率は KL 発散度の勾配を介して推定可能である。