[論文レビュー] An Efficient Quantum Algorithm for some Instances of the Group Isomorphism Problem

François Le Gall|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、互いに素な位数をもつアーベル群による巡回群による拡大である特定の非アーベル群のクラスに対して、群の位数の対数の多項式時間で群同型問題を解く量子アルゴリズムを提示する。問題をアーベル型の隠れ部分群問題（HSP）のインスタンスに還元することで、既存の最良古典的アルゴリズムよりも指数的高速化を達成し、非アーベル群同型問題における初めてのこのような量子高速化を示している。

ABSTRACT

In this paper we consider the problem of testing whether two finite groups are isomorphic. Whereas the case where both groups are abelian is well understood and can be solved efficiently, very little is known about the complexity of isomorphism testing for nonabelian groups. Le Gall has constructed an efficient classical algorithm for a class of groups corresponding to one of the most natural ways of constructing nonabelian groups from abelian groups: the groups that are extensions of an abelian group $A$ by a cyclic group $Z_m$ with the order of $A$ coprime with $m$. More precisely, the running time of that algorithm is almost linear in the order of the input groups. In this paper we present a quantum algorithm solving the same problem in time polynomial in the logarithm of the order of the input groups. This algorithm works in the black-box setting and is the first quantum algorithm solving instances of the nonabelian group isomorphism problem exponentially faster than the best known classical algorithms.

研究の動機と目的

• 大多数のクラスに対して有効な古典的アルゴリズムが知られていない非アーベル群同型問題の複雑性ギャップを埋める。
• 量子アルゴリズムが非アーベル群同型問題において指数的高速化を達成できるかを検討し、アーベルの場合に知られている量子優位性を拡張する。
• 位数が互いに素なアーベル群の拡大であるクラスSに属する群の同型テストを解く量子アルゴリズムを開発する。
• nを小さい方の入力群のサイズとするとき、実行時間をlog nの多項式時間に抑えること。これは古典的境界と比べて顕著に向上する。
• 非アーベル同型問題を、量子に適したアーベル型隠れ部分群問題のインスタンスに還元するフレームワークを確立する。

提案手法

• クラスSに属する非アーベル群同型問題を、アーベル型隠れ部分群問題（HSP）の複数のインスタンスに還元する。
• 量子ブラックボックス群操作を用いて、導来部分群とその生成元を効率的に計算する量子アルゴリズムを採用する。
• 量子位相推定とアモニチュード増幅を用いて、特定の位数の要素を同定し、lcmと位数の因数分解を用いて群の構造を計算する。
• 特に群作用が非自明な場合に、特定のコセット内での巡回部分群の生成元を探索するために量子探索を適用する。
• 量子的手続きを用いてアーベル部分群と巡回補集合を特定することで、標準的分解を構築し、同型写像のもとで構造的不変性を保証する。
• 古典的後処理と量子サブルーチンを組み合わせ、同型写像が存在する場合にはそれを検証し、明示的な同型写像を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムが、特にアーベル群の拡大のような構造的クラスに対して、非アーベル群同型問題において指数的高速化を達成できるか。
• RQ2 非アーベル群同型問題を、量子効率を保つ形でアーベル型隠れ部分群問題に還元することは可能か。
• RQ3 クラスSに属する群が、効率的な量子分解と同型テストを可能にする構造的性質は何か。
• RQ4 アーベル正規部分群と巡回補集合の間の互いに素な位数条件を、量子アルゴリズムがどのように活用して同型テストを簡略化できるか。
• RQ5 この量子アルゴリズムは、クラスSに属する群を超えた他の非アーベル群クラスへ一般化可能か。

主な発見

• 提示された量子アルゴリズムは、nを小さい方の入力群のサイズとするとき、クラスSに属する群の同型問題をlog nの多項式時間で解く。
• これは、同様のクラスに対して、n^{1+o(1)}の時間で実行される既存の最良古典的アルゴリズムよりも指数的高速化を達成する。
• アルゴリズムは、アーベル群の分解と隠れ部分群問題の解法の量子サブルーチンを活用しており、ショアのアルゴリズムやチエン＝モスカの研究に基づく。
• 導来部分群の生成元と巡回補集合の生成元を特定する量子手順を用いて、群の標準的分解を構築する。
• 同型写像が存在する場合には、高い確率で明示的な同型写像を出力し、ブラックボックス群モデル内でのみ動作する。
• 本研究は、既知の古典的アプローチよりも指数的高速に非アーベル群同型問題を解く、最初に知られている量子アルゴリズムを確立した。