[論文レビュー] An Efficient Quantum Factoring Algorithm

Oded Regev|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、√n + 4 個の独立した量子回路をそれぞれサイズ ~O(n^{3/2}) と用い、その後、N を n ビット整数として因数分解するための多項式時間の古典的後処理を行う因数分解法を提示する。

ABSTRACT

We show that $n$-bit integers can be factorized by independently running a quantum circuit with $\tilde{O}(n^{3/2})$ gates for $\sqrt{n}+4$ times, and then using polynomial-time classical post-processing. The correctness of the algorithm relies on a number-theoretic heuristic assumption reminiscent of those used in subexponential classical factorization algorithms. It is currently not clear if the algorithm can lead to improved physical implementations in practice.

研究の動機と目的

• Shor’s algorithm を超える因数分解のために量子回路サイズを縮小する動機づけを、ヒューリスティックな格子ベースアプローチによって正確性を保ちながら行う。
• 因子抽出のために、双対格子の量子サンプリングと古典的格子約分を組み合わせた多次元量子因数分解フレームワークを提案する。
• 量子回路サイズ、実行回数、古典的後処理時間の間の資源トレードオフを分析する。

提案手法

• N を法とする平方根の計算を介して因数分解を設定するために、多次元格子 L とその部分格子 L0 を構築する。
• 離散化を伴う双対格子 L* のノイズ付き版からサンプリングする量子手順を用い、その後、双対格子ベクトルの近似を得るために量子フーリエ変換を適用する。
• ノイズ付きサンプルから非自明な因数を回復するために、古典的格子約分（LLL）と後処理用格子構成を適用する。
• d = √n および R = exp(C√n) とすると、量子回路サイズは ~O(n^{3/2}) となり、追加の格子ベースの4つの約分が十分で、√n+4 回繰り返す。
• 難易度の高い格子問題を解くことによって、超多項式時間の古典的後処理でさらに小さな量子コストへの道を提供する。
• 格子問題が多項式時間で古典的に解けるようになれば、ほぼ線形の量子回路サイズで N を因数分解できる道を概説する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子サンプリングと組み合わせた多次元格子ベースのアプローチは、Shor に類似した因数分解を、量子回路深さを大幅に削減して再現できるか？
• RQ2 格子理論的ヒューリスティックの下で、固定サイズの量子回路を繰り返し独立に適用し、その後多項式時間の古典的後処理を行うことは、N の非自明な因子を信頼性高く得られるか？
• RQ3 N を因数分解する際の、量子回路サイズ、回路の繰り返し回数、そして古典的後処理の複雑さの正確なトレードオフはどこにあるか？
• RQ4 L L0 における短いベクトルの存在に関するヒューリスティック仮定や、量子サンプリング過程のノイズへの頑健性はどの程度か？

主な発見

• N の因数分解は、サイズ ~O(n^{3/2}) の量子回路を √n + 4 回実行し、古典的後処理を多項式時間で行うことで達成できる。
• L L0 のノルムが exp(O(√n)) の短いベクトルが存在するというヒューリスティック仮定の下で、アルゴリズムは N を因数分解する。
• 古典的後処理は格子約分を用いて、N の非自明な因子を高確率で生み出すベクトルを回復する。
• 本手法は、超多項式の古典的後処理を用いることで、量子コストを ~O(n^{3/2−ε})（0 < ε ≤ 1/2 の任意の値）まで低減できることを意味するが、古典時間は exp(O(n^{2ε})) になる。
• 格子ベースの暗号が古典的に破られれば、ほぼ線形に近いサイズの量子回路 ~O(n) で因数分解が可能になる。
• 解析は漸近的であり、実際の効率は隠れた定数やハードウェアの特性に依存する。