[論文レビュー] An efficient recursive decomposition algorithm for undirected graphs

Pei Heng, Yi Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2026

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ひとこと要約

本論文は、凸包と最大濃度探索順序により原子を特定する再帰分解アルゴリズム（RDA）を提案し、従来法より高速なグラフ分解を実現するとともに、大規模グラフ向けの並列版（PRDA）を導入します。

ABSTRACT

The decomposition of undirected graphs simplifies complex problems by breaking them into solvable subgraphs, following the philosophy of divide and conquer. This paper investigates the relationship between atom decomposition and the maximum cardinality search (MCS) ordering in general undirected graphs. Specifically, we prove that applying a convex extension to the node numbered $1$ and its neighborhood in an MCS ordering yields an atom in the graph. Furthermore, based on the MCS ordering, we introduce a recursive algorithm for decomposing an undirected graph into its atoms. This approach closely aligns with the results of chordal graph decomposition. As a result, minimal triangulation of the graph is no longer required, and the identification of clique minimal separators is avoided. In the experimental section, we combine the proposed decomposition algorithm with two existing convex expansion methods. The results show that both combinations significantly outperform the existing algorithms in terms of efficiency.

研究の動機と目的

• triangulation に依存せずに、無向グラフを原子へ分解する問題を動機づけ、形式化する。
• 凸包と最小セパレータを活用した再帰分解フレームワークを提案する。
• 大規模グラフの分解を高速化する並列版を開発する。
• 従来法と比較した効率性の理論的保証と実証的証拠を提供する。

提案手法

• G へのノード順序を取得するために最大濃度探索（MCS）を使用する。
• 最小のMCS番号付きノードの隣接領域を含む凸包が原子を形成することを示す。
• CMSA を介して凸包を反復的に吸収し原子を抽出する再帰分解アルゴリズム（RDA）を定義する。
• RDA は最悪時間計算量が O(nm) で全ての原子を返すことを証明する。
• 可能な場合には独立成分を並列に処理する並列版（PRDA）へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無向グラフの原子を最小三角形化に依存せずに効率的に同定できるか。
• RQ2 凸包とMCS順序をどう活用してグラフを原子へ再帰的に分解できるか。
• RQ3 並列分解アプローチは大規模実ネットワークで実行時間を大幅に削減するか。

主な発見

Network	Nodes	Edges	T1 (s)	T2 (s)
Animal Network-1	103	151	0.03	0.15
Animal Network-2	445	1423	0.14	0.94
bio-CE-GT	924	3239	0.50	9.75
bio-CE-GN	2200	53683	1.11	193.43
bio-DR-CX	3289	84940	2.09	892.38
as20000102	6474	13895	20.34	—
CA-HepTh	9877	25998	184.99	—
CA-CondMat	23133	93497	857.99	—
Email-Enron	36692	183831	859.77	—

• RDA はグラフのすべての原子を正確に同定する。
• RDA の計算量は最大で O(nm)。
• 実ネットワーク上で、報告された実行時間の点で Xu and Guo (2012) の手法を著しく上回る。
• サブグラフが複数の成分に分解できる場合、並列版（PRDA）は速度アップを提供できる一方で、常にそうとは限らない。
• 分解中に最小三角形化の考慮を組み込み、効率性を向上させる手法。
• 複数の実ネットワークで実用的な効率向上を示す実験結果。