[論文レビュー] An Efficient Streaming Algorithm for the Submodular Cover Problem

Ashkan Norouzi-Fard, Abbas Bazzi+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、サブラインアー記憶制約下での部分集合被覆（SC）問題に対する、最初の効率的な一括ストリーミングアルゴリズムであるESC-Streamingを紹介する。最適解に対して2/ε近似を達成しながら、目標効用の(1−ε)を達成しており、7億8700万ノードを超えるようなグラフを含む大規模データセットに対しても非常にスケーラブルである。

ABSTRACT

We initiate the study of the classical Submodular Cover (SC) problem in the data streaming model which we refer to as the Streaming Submodular Cover (SSC). We show that any single pass streaming algorithm using sublinear memory in the size of the stream will fail to provide any non-trivial approximation guarantees for SSC. Hence, we consider a relaxed version of SSC, where we only seek to find a partial cover. We design the first Efficient bicriteria Submodular Cover Streaming (ESC-Streaming) algorithm for this problem, and provide theoretical guarantees for its performance supported by numerical evidence. Our algorithm finds solutions that are competitive with the near-optimal offline greedy algorithm despite requiring only a single pass over the data stream. In our numerical experiments, we evaluate the performance of ESC-Streaming on active set selection and large-scale graph cover problems.

研究の動機と目的

• すべてのグランドセットをメモリに格納できないデータストリーミングモデルにおいて、部分集合被覆（SC）問題を解く挑戦に取り組む。
• 標準的な仮定の下で、サブラインアー記憶量を有する一括ストリーミングアルゴリズムが、正確なSC問題に対して非自明な近似を得ることは不可能であるという根本的な制限を克服する。
• 目標効用の(1−ε)分だけ達成すればよいという緩和されたSC問題のための実用的で効率的なアルゴリズムを開発する。
• 一度のデータ走査で済ませ、記憶量と実行時間の両面で効率的なストリーミングアルゴリズムを設計し、強力な理論的保証を提供する。
• 実世界の問題、例えばアクティブセット選択や大規模グラフ被覆において、オフラインのグリーディアルゴリズムと同等の性能を示すスケーラビリティを実証する。

提案手法

• 目標効用の正確なカバレッジではなく、(1−ε)分の達成を目指す、部分集合被覆問題の緩和版を提案する。
• ESC-Streamingを導入する。これは二段階のアプローチを取るバイクリテリアストリーミングアルゴリズムである。第一段階では、しきい値に基づく選択戦略を用いて候補集合を構築する。第二段階では、乗法的係数αを用いたグリーディに似た選択によって解を最適化する。
• 部分集合関数の帰納的減少性（diminishing returns）の性質を活用し、小さなアクティブな候補集合を維持する記憶効率の高い選択メカニズムを設計する。
• パラメータαを用いて、解のサイズと計算コストのトレードオフを制御する。α > 1とすることで、より大きなが効率的な解集合が得られる。
• 要素が任意の順序で処理され、一度のパスのみが許可され、記憶量が最適解のサイズのO(1/ε)倍以内に制限されるストリーミングオракルモデルを採用する。
• 理論的解析により、ESC-Streamingが最適解のサイズに対して2/ε近似を達成するとともに、(1−ε)の効用カバレッジを保証することが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブラインアー記憶量を有する一括ストリーミングアルゴリズムは、サブラインアー記憶制約下で正確な部分集合被覆問題に対して非自明な近似を達成できるか？
• RQ2 ストリーミング部分集合被覆問題において、記憶使用量と近似比の根本的トレードオフは何か？
• RQ3 最適解にわずかに大きな解集合でさえも、ほぼ最適な効用カバレッジを達成できるような効率的なストリーミングアルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ4 本手法は、大規模な実世界データセット（例：大規模グラフ）において実際の性能を示すか？
• RQ5 7億8700万ノードを超えるグラフに対しても、オフラインのグリーディ法と同等の性能を維持しながらスケーラブルに動作するか？

主な発見

• サブラインアー記憶量を有する一括ストリーミングアルゴリズムは、正確な部分集合被覆問題に対して非自明な近似を得ることは不可能であり、これは根本的な下界を示している。
• ESC-Streamingは、最適解のサイズに対して2/ε近似を達成するとともに、目標効用の(1−ε)を保証しており、強力な理論的保証を提供する。
• 「uk-2014」グラフ（7億8700万ノード、476億エッジ）において、ESC-Streamingはランダム選択を上回り、特に難易度の高い頂点被覆問題において顕著な優位性を示した。
• Friendsterグラフ（6560万ノード、18億エッジ）では、2000イテレーション後にESC-Streamingの解のサイズがオフライングリーディアルゴリズムと非常に近い値に収束した。
• Friendsterグラフにおいてα=2の場合、ESC-Streamingは30MBの記憶量で動作したが、オフライングリーディアルゴリズムは1.2×10⁷回のオラクル呼び出しを要し、1日以上を要した。
• ESC-Streamingは、オフライングリーディアルゴリズムの3.15%未満、そしてラージグリーディアルゴリズムの25.5%未塔のオラクル呼び出し回数にまで削減し、顕著な効率性の向上を示した。