[論文レビュー] An Eisenstein ideal for imaginary quadratic fields and the Bloch-Kato conjecture for Hecke characters

Tobias Berger|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 39被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、虚二次体上のヘッケキャラクターのセレマー群のサイズに対する下界を、GL₂/F のコホモロジーにおけるイーズェンシュタインコホモロジー類とカスプ形式コホモロジー類の間の合同関係を構成することによって確立する。カスプ形式に付随するガロア表現と、特別なL値を用いたイーズェンシュタインイデアルの指数の評価を組み合わせることで、無限遠型 z² の非分岐ヘッケキャラクターに対して、ブロッハ＝カトゥー予想の予測と一致するセレマー群のサイズを証明する。

ABSTRACT

For certain algebraic Hecke characters chi of an imaginary quadratic field F we define an Eisenstein ideal in a p-adic Hecke algebra acting on cuspidal automorphic forms of GL_2/F. By finding congruences between Eisenstein cohomology classes (in the sense of G. Harder) and cuspidal classes we prove a lower bound for the index of the Eisenstein ideal in the Hecke algebra in terms of the special L-value L(0,chi). We further prove that its index is bounded from above by the order of the Selmer group of the p-adic Galois character associated to chi^{-1}. This uses the work of R. Taylor et al. on attaching Galois representations to cuspforms of GL_2/F. Together these results imply a lower bound for the size of the Selmer group in terms of L(0,chi), coinciding with the value given by the Bloch-Kato conjecture.

研究の動機と目的

• 虚二次体上のヘッケキャラクターのセレマー群のサイズに対する下界を確立すること。
• GL₂/F のコホモロジーにおけるイーズェンシュタインコホモロジー類とカスプ形式コホモロジー類の間の合同関係を構成すること。
• ヘッケ代数におけるイーズェンシュタインイデアルの指数を特別なL値 L(0,χ) と結びつけること。
• ガロア表現と合同関係を用いて、セレマー群のサイズがブロッハ＝カトゥー予想の予測と一致することを示すこと。

提案手法

• 無限遠型 z のヘッケキャラクター χ に対して、GL₂/F のカスプ形式に作用するヘッケ代数 T にイーズェンシュタインイデアル Iϕ を構成する。
• 境界制限写像の性質に依拠する一般的枠組み（命題9）を用いて、イーズェンシュタイン類とカスプ形式類の間のコホモロジー的合同関係を構築する。
• テイラーらの結果を応用して、コホモロジカルなカスプ形式にガロア表現を付随させ、χpε のセレマー群の元を構成可能にする。
• セレマー群のサイズが、T におけるイーズェンシュタインイデアル Iϕ の指数から下から抑えられることを証明する。
• 非分岐キャラクターの境界制限写像の解析により、高次のコホモロジーにおける torsion 問題を解決し、H²_c(S, R)_torsion = 0 を示す。
• twisting 論法を用いて、カスプ形式がサイクロトミック中心特徴に適合することを保証し、タイラーのシンプレクティック群への上昇と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 虚二次体の文脈において、イーズェンシュタイン類とカスプ形式類の間の合同関係が、セレマー群のサイズを下から抑えられるか。
• RQ2 ヘッケ代数におけるイーズェンシュタインイデアルの指数が、ヘッケキャラクターに付随する p-進ガロア表現のセレマー群のサイズを制御するか。
• RQ3 イーズェンシュタインコホモロジーと合同関係を用いて、虚二次体上のヘッケキャラクターに対するブロッハ＝カトゥー予想を検証可能か。
• RQ4 特別なL値 L(0,χ) は、イーズェンシュタインイデアルの指数とセレマー群のサイズの両者とどのように関係するか。

主な発見

• ヘッケ代数 T におけるイーズェンシュタインイデアル Iϕ の指数は、代数的L値 L^alg(0,χ) のp-進付値から下から抑えられる。
• p-進ガロア表現 χpε のセレマー群のサイズは、Iϕ の指数から下から抑えられ、L(0,χ) と関連づけられる。
• 無限遠型 z² の非分岐ヘッケキャラクターに対して、セレマー群のサイズのp-進付値は、代数的L値 L^int(0,χ) のp-進付値と一致する。
• 例として F = Q(√-67), p = 19 を取り上げると、val₁₉(L^alg(0,χ)) = 1 であるため、セレマー群のサイズは少なくとも19以上であり、非自明な下界が得られる。
• 結果として、与えられたヘッケキャラクターに対してブロッハ＝カトゥー予想が確認され、予測されたサイズと計算されたサイズが一致する。