[論文レビュー] An elementary approach to the Daugavet equation

Dirk Werner|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 1994

Advanced Banach Space Theory参考文献 9被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、確率的核を用いて、C(S)-空間上の作用素に対するDaugavet方程式を、初等的で統一的なアプローチで提示する。作用素をその表現測度（μ_s）で表現することにより、‖I+T‖=1+‖T‖を満たすための必要十分条件を導出し、孤立点のないコンパクトハウスドルフ空間上での弱コンパクト作用素およびc₀-因数可能作用素の証明を単純化する。

ABSTRACT

Let $T\dopu C(S) o C(S)$ be a bounded linear operator. We present a necessary and sufficient condition for the so-called Daugavet equation $$ \|\Id+T\| = 1+\|T\| $$ to hold, and we apply it to weakly compact operators and to operators factoring through $c_{0}$. Thus we obtain very simple proofs of results by Foias, Singer, Pelczynski, Holub and others.

研究の動機と目的

• C(S)-空間上でのさまざまな作用素クラスにおけるDaugavet方程式を証明する統一的で初等的な枠組みを提供すること。
• 弱コンパクト作用素およびc₀-因数可能作用素に対するDaugavet方程式の既存の証明を一般化・単純化すること。
• 作用素Tの表現核（μ_s）を用いて、Daugavet方程式の必要十分条件を確立すること。
• 双対性および随伴作用素を用いて、(AL)-および(AM)-空間への結果の拡張すること。
• 複素数の場合に、絶対値条件を用いて主条件を複素スカラーに適応すること。

提案手法

• 有界線形作用素T: C(S) → C(S) を、その確率的核（μ_s）_{s∈S} で表現する。ここでμ_s = T*δ_sである。
• 恒等式‖T‖ = sup_s ‖μ_s‖ を用いて、作用素ノルムをμ_sのTotal Variationで表現する。
• max{‖I±T‖} = 1 + ‖T‖ が成り立つのは、sup_s [1 + |μ_s({s})| + |μ_s|(S\{s})] = 1 + ‖T‖ であるときに限ることを証明する。
• 条件(∗)を必要十分条件として確立する：任意の空でない開集合U ⊂ Sに対して、sup_{s∈U} μ_s({s}) ≥ 0 が成り立つ。
• Baireのカテゴリ一様定理を用いて、Sに孤立点がないとき、{t ∈ S : μ_s({t}) = 0 for all s} がSで稠密であることを示す。
• 双対性を用いて、随伴作用素および表現定理を用いて、C(S)から(AL)-および(AM)-空間への結果の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C(S)上の作用素に対して、Daugavet方程式‖I+T‖ = 1 + ‖T‖ が成り立つための必要十分条件は何か？
• RQ2 表現核(μ_s)を用いることで、弱コンパクト作用素に対するDaugavet方程式の証明をどのように単純化できるか？
• RQ3 代表測度μ_sにどのような条件下で、c₀を通る因数可能な作用素に対してDaugavet方程式が成り立つか？
• RQ4 結果を複素バナッハ空間へ拡張できるか。また、その場合に条件をどのように修正する必要があるか？
• RQ5 Sに孤立点がないことの役割は、弱コンパクト作用素に対するDaugavet方程式の成立を保証するために果たすか？

主な発見

• 作用素T: C(S) → C(S) に対して、Daugavet方程式が成り立つのは、任意の空でない開集合U ⊂ S に対して sup_{s∈U} μ_s({s}) ≥ 0 が成り立つときに限る。
• Sがコンパクトハウスドルフかつ孤立点を持たないとき、弱コンパクト作用素に対してDaugavet方程式は、s ↦ μ_s が弱位相で連続であることから成り立つ。
• Sに孤立点がないとき、C(S)上でのc₀-因数可能作用素は、集合{t ∈ S : μ_s({t}) = 0 for all s} におけるBaireのカテゴリ論法により、Daugavet方程式を満たす。
• 双対性を用いて、結果は(AL)-および(AM)-空間へ拡張可能である。Eが(AL)-または(AM)-空間であれば、E上の任意の有界作用素Tに対して、max{‖I±T‖} = 1 + ‖T‖ が成り立つ。
• 複素数の場合のDaugavet方程式の条件は、任意の空でない開集合U ⊂ S に対して sup_{s∈U} (|1 + μ_s({s})| − (1 + |μ_s({s})|)) ≥ 0 が成り立つことである。
• 証明により、C(S)、(AL)-、および(AM)-空間上の正の作用素は、μ_s({s}) ≥ 0 ならば条件(∗)を満たすため、Daugavet方程式を満たすことが示された。