[論文レビュー] An elementary introduction to the Wiener process and stochastic integrals

Tamás Szabados|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2010

Quantum Mechanics and Applications被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、確率的収束の意味で収束する単純な対称ランダムウォークの列を用いて、ウィエンャー過程と確率積分を初等的で構成的な方法で提示する。イト型およびストラトノビッチ型積分は、確率1で収束する離散的近似によって定義され、基本的な確率論と解析学のみを用いてイトの公式を証明する。これにより、測度論的道具を用いない、自己完結的でアクセス可能な確率積分の基礎が提供される。

ABSTRACT

An elementary construction of the Wiener process is discussed, based on a proper sequence of simple symmetric random walks that uniformly converge on bounded intervals, with probability 1. This method is a simplification of F.B. Knight's and P. R\\'ev\\'esz's. The same sequence is applied to give elementary (Lebesgue-type) definitions of It\\^o and Stratonovich sense stochastic integrals and to prove the basic It\\^o formula. The resulting approximating sums converge with probability 1. As a by-product, new elementary proofs are given for some properties of the Wiener process, like the almost sure non-differentiability of the sample-functions. The purpose of using elementary methods almost exclusively is twofold: first, to provide an introduction to these topics for a wide audience; second, to create an approach well-suited for generalization and for attacking otherwise hard problems.

研究の動機と目的

• 基本的な微積分と確率論の知識を持つ学生を対象に、ウィエンャー過程と確率積分についてのアクセス可能な初等的入門を提供すること。
• 有界区間上で確率1で一様収束するようにスケーリングされた単純な対称ランダムウォークの列の極限としてウィエンャー過程を構成すること。
• 確率1で収束する離散的近似和を用いて、イト型およびストラトノビッチ型確率積分を定義すること。
• 高度な測度論的道具を避けて、初等的手法のみを用いてイトの公式を証明すること。
• 初等的手法が、一般化や確率解析における複雑な問題の解決に、実際に可能で強力であることを示すこと。

提案手法

• 適切にスケーリングされた単純な対称ランダムウォークの列の、有界区間上で確率1で一様収束する極限としてウィエンャー過程を構成する。
• 同じランダムウォークの列を用いて、離散的和を介してイト型およびストラトノビッチ型確率積分を定義する。
• 標本路の連続性と導関数の一様連続性を活用して、近似和が対応する確率積分に確率1で収束することを確立する。
• 関数の増分と二次変動の離散的和の収束を分析することでイトの公式を証明し、非古典的な2次項を特定する。
• ストラトノビッチ積分に対して台形則近似を適用し、一様連続性の議論によりそれがストラトノビッチ積分に収束することを示す。
• 最大最小定理および連続標本路の性質を用いて近似の誤差項を制御し、確率1収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィエンャー過程は、単純な対称ランダムウォークを用いて、初等的かつ確率1収束の意味でどのように構成できるか？
• RQ2 イト型およびストラトノビッチ型確率積分は、確率1で収束する離散的近似によって定義可能か？
• RQ3 イトの公式の導出において、二次変動の役割は何か？ そして、なぜ非古典的な2次項が生じるのか？
• RQ4 測度論的道具を用いずに、初等的解析と確率論のみを用いてイトの公式をどのように証明できるか？
• RQ5 初等的手法は、確率積分のより複雑な問題への一般化にどの程度まで応用可能か？

主な発見

• ウィエンャー過程は、適切にスケーリングされた単純な対称ランダムウォークの列の、有界区間上で確率1で一様収束する極限として構成される。
• イト型およびストラトノビッチ型確率積分の近似和は、それぞれの積分に確率1で収束する。
• イトの公式は離散的和の極限として導出され、ウィエンャー過程の二次変動に起因する非古典的項 $\frac{1}{2}\int_0^K f'(W(s))\,ds$ が明らかにされる。
• ストラトノビッチ積分は台形則近似によって収束し、古典的な連鎖律の直感と整合的であることが示される。
• 初等的手法により、標本路の確率1での非微分可能性といったウィエンャー過程の基本的性質の、新しい直接的証明が得られる。
• 本アプローチは、測度論的道具を必要とせず、高年級の学部または修士課程の確率論の授業に組み込める、自己完結的でアクセス可能な確率積分の基礎を提供する。