[論文レビュー] An elementary proof for the dimension of the graph of the classical Weierstrass function

Gerhard Keller|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ハイパボリック測度理論に依存せずに、テレスコピング補題と再帰的マルチスケール推定を用いて、古典的ワイエルシュトラス関数 $ W_{\rho,b}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \rho^n \cos(2\pi b^n x) $ のグラフのハウスドルフ次元が $ 2 + \frac{\log \rho}{\log b} $ に等しいことを、初等的な証明で示している。この結果は、このパrameter範囲においてマンデルブロの予想を裏付けるものであり、レドプラピエ＝ヤング次元理論に依存しない。

ABSTRACT

Let $W_{λ,b}(x)=\sum_{n=0}^\inftyλ^n g(b^n x)$ where $b\geqslant2$ is an integer and $g(u)=\cos(2πu)$ (classical Weierstrass function). Building on work by Ledrappier (1992), Baránsky, Bárány and Romanowska (2013) and Tsujii (2001), we provide an elementary proof that the Hausdorff dimension of $W_{λ,b}$ equals $2+\frac{\logλ}{\log b}$ for all $λ\in(λ_b,1)$ with a suitable $λ_b<1$. This reproduces results by Baránsky, Bárány and Romanowska without using the dimension theory for hyperbolic measures of Ledrappier and Young (1985,1988), which is replaced by a simple telescoping argument together with a recursive multi-scale estimate.

研究の動機と目的

• ハイパボリック測度の次元理論の高度な道具を用いずに、ワイエルシュトラス関数のグラフのハウスドルフ次元について、より簡単でアクセスしやすい証明を提供すること。
• レドプラピエ＝ヤング理論を用いずに、バーランスキー、バーラニ、ロマノウスカのグラフ次元に関する結果を再現すること。
• テレスコピング補題と初等的な再帰的推定を用いて、次元公式 $ D = 2 + \frac{\log \rho}{\log b} $ が $ \rho \in (\lambda_b, 1) $ に対して成り立つことを示すこと。
• 特に $ g(u) = \cos(2\pi u) $ の場合に、区分的線形関数から非線形関数への移行を直接的かつ概念的に扱う方法を提示すること。
• 関数 $ g(u) = \text{dist}(u, \mathbb{Z}) $ の場合へのこの手法の拡張を行い、次元問題を無限ベルヌーイ畳み込みの絶対連続性に関連付けること。

提案手法

• ハイパボリック測度次元理論の使用を避け、スケール間での測度増加を制御するためのテレスコピング和の補題を用いる。
• スケールごとの測度の増加を制御する再帰的マルチスケール推定を用い、条件付き確率と測度を保つ写像に依存する。
• 主な推定では、$ \Theta_z(\xi,x) \in \mathbb{L}_x $ となる集合の測度を、無限ベルヌーイ畳み込みの条件付き密度 $ h_x $ と滑らかなカーネルとの畳み込みを用いて評価する。
• 入れ子になった集合の列 $ G_{r,k}(z) $ を用い、写像 $ \Theta_{z,k} $ によるそれらの逆像の測度を評価し、$ \gamma = 1/(b\rho) < 1 $ を含む再帰的境界を導出する。
• 重要なステップとして、$ m^2\{ \cdots \} \leq r^{-2\delta} \cdot 4R_{k,3}\gamma^{d_k} \cdot m^2\{ \cdots \} $ という不等式を用い、スケール $ k $ における測度が $ k-1 $ スケールにおける測度と関連づけられる。
• ツジイの横断的推定とバーランスキーらによる数値的境界を用い、スケール間での測度の減少を制御することで、次元公式が成り立つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパボリック測度次元理論の完全な道具を用いずに、ワイエルシュトラス関数グラフのハウスドルフ次元が $ 2 + \frac{\log \rho}{\log b} $ に等しいことを、初等的手法で証明できるか？
• RQ2 区分的線形関数 $ g(u) = \text{dist}(u, \mathbb{Z}) $ から非線形余弦関数 $ g(u) = \cos(2\pi u) $ への移行を、直接的かつ概念的にどのように行えるか？
• RQ3 無限ベルヌーイ畳み込みの絶対連続性が、ワイエルシュトラスグラフの次元を決定づける役割を果たすのか？
• RQ4 動的システムや不変測度を用いずに、再帰的推定とテレスコピング補題を用いて、$ \rho \in (\lambda_b, 1) $ の範囲で次元結果を確立できるか？
• RQ5 ツジイの横断的推定とバーランスキーらによる数値的境界が、初等的な測度論的技法とどのように組み合わさり、次元公式を導くのか？

主な発見

• すべての $ \rho \in (\lambda_b, 1) $ に対して、$ W_{\rho,b} $ のグラフのハウスドルフ次元は $ 2 + \frac{\log \rho}{\log b} $ に等しい。ここで $ \lambda_b $ は $ b $ に依存する閾値であり、初等的手法により確認された。
• レドプラピエ＝ヤングのハイパボリック測度次元理論の使用を避け、テレスコピング補題と再帰的マルチスケール測度推定に置き換えた。
• $ b=2 $ の場合、次元公式は、パrameter $ \gamma = 1/(2\rho) $ の無限ベルヌーイ畳み込みが $ L^2 $ 密度を持つ場合に成り立つ。これは、Lebesgue測度でほとんどすべての $ \rho \in (1/2, 1) $ に対して満たされる。
• この手法により、区分的線形関数と非線形関数の $ g(u) $ の間の概念的橋渡しがなされ、次元が関連するベルヌーイ畳み込みの絶対連続性に依存することが示された。
• 再帰的推定式 $ m^2\{ \cdots \} \leq r^{-2\delta} \cdot 4R_{k,3}\gamma^{d_k} \cdot m^2\{ \cdots \} $ が、スケール間での測度の減少を制御する中心的な役割を果たす。
• 最終的な境界 $ m^2\{ (\xi,x) \in \mathbb{I}^2 \setminus E_r : \Theta_z(\xi,x) \in \mathbb{L}_x \} \leq \text{const} \cdot r^{1-2\eta} |z|^{-(1-\eta)} $ は、必要な条件下で次元公式が成り立つことを確認する。