[論文レビュー] An elementary proof of the continuity from $L_0^2(Ω)$ to $H^1_0(Ω)^n$ of Bogovskii's right inverse of the divergence

Ricardo G. Durán|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2011

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、球に星型である領域 Ω に対して、$L_0^2(Ω)$ から $H_0^1(Ω)^n$ への発散作用素のボゴフスキー右逆作用素の連続性について、基本的なフーリエ変換に基づく証明を提示する。この手法はカルデロン＝ジムント理論を回避し、比 $R/\rho$ に依存する明示的な連続性定数の評価を可能にし、これによりコーワンの不等式および改良型ポアンカレ不等式の定数に対する評価が得られる。

ABSTRACT

The existence of right inverses of the divergence as an operator form $H^1_0(Ω)^n$ to $L_0^2(Ω)$ is a problem that has been widely studied because of its importance in the analysis of the classic equations of fluid dynamics. When $Ω$ is a bounded domain which is star-shaped with respect to a ball $B$, a right inverse given by an integral operator was introduced by Bogovskii, who also proved the continuity using the Calderón-Zygmund theory of singular integrals. In this paper we give an alternative elementary proof using the Fourier transform. As a consequence, we obtain estimates of the constant in the continuity in terms of the ratio between the diameters of $Ω$ and $B$. Moreover, using the relation between the existence of right inverses of the divergence with the Korn and improved Poincaré inequalities, we obtain estimates for the constants in these two inequalities.

研究の動機と目的

• カルデロン＝ジムント理論に依存しない、ボゴフスキーの発散作用素の右逆作用素の連続性を示すための簡単な代替手法の提供。
• 領域の直径 $R$ と基準球の半径 $\rho$ の比 $R/\rho$ に依存する、逆発散作用素の連続性定数の明示的評価の導出。
• 逆発散作用素の連続性定数とコーワンの不等式および改良型ポアンカレ不等式の定数との間の定量的関係の確立。
• 平面上の星型領域に対して、新しい評価を用いて改良型ポアンカレ不等式の定数が $R/\rho$ の関数として有界であることを示すこと。

提案手法

• 関数 $f$ の全空間 $\mathbb{R}^n$ 上へのゼロ拡張により、右逆作用素を全空間に拡張する。
• 発散作用素の逆を定義する特異積分作用素を解析する際、恒等式 $\widehat{\partial_j f}(\xi) = 2\pi i \xi_j \widehat{f}(\xi)$ を用いる。
• 特異核の構造を扱うために、解作用素を二つの部分 $u_{k,1}$ と $u_{k,2}$ に分解する。
• $L^2$-有界性を示すフーリエ乗数作用素の性質を用いて、$f$ の $L^2$ ノルムに基づき、解の $H^1_0$ ノルムを制御する。
• スケーリングおよび局所化技術を用いて、幾何的比 $R/\rho$ に依存する鋭い評価を導出する。
• 双対性および partition of unity の議論を用いて、逆発散作用素と改良型ポアンカレ不等式およびコーワン不等式との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルデロン＝ジムント理論に依存せずに、ボゴフスキーの発散作用素の右逆作用素の連続性を証明できるか？
• RQ2 星型領域に対して、連続性定数が幾何的比 $R/\rho$ にどのように依存するか？
• RQ3 逆発散作用素の連続性定数を、コーワンの不等式および改良型ポアンカレ不等式の定数を推定するためにどのように利用できるか？
• RQ4 平面上の星型領域において、改良型ポアンカレ不等式の定数が $ (R/\rho) \log(R/\rho) $ の定数倍で有界であるか？
• RQ5 ハーディー不等式を用いて、逆発散作用素の定数と改良型ポアンカレ定数との間の逆評価を確立できるか？

主な発見

• フーリエ変換と基本的な $L^2$ 理論のみを用いて、$L_0^2(\Omega)$ から $H_0^1(\Omega)^n$ へのボゴフスキーの右逆作用素の連続性についての簡単な証明が確立された。
• 連続性定数 $C_{\text{div},\Omega}$ は比 $R/\rho$ に依存する明示的評価が得られ、$C_{\text{div},\Omega} \leq C_n (1 + C_{\text{iP},\Omega})$ が成り立つ。
• 平面上の星型領域に対して、改良型ポアンカレ不等式の定数は $C_{\text{iP},\Omega} \leq C (R/\rho) \log(R/\rho)$ を満たす。ここで $C$ は絶対定数である。
• ハーディー不等式の仮定の下で、$C_{\text{iP},\Omega} \leq C_{H,\Omega} C_{\text{div},\Omega}$ が示され、単純連結な平面上の領域に対しては $C_{H,\Omega} \leq 4$ が成り立つ。
• 評価 $C_{\text{iP},\Omega} \leq C (R/\rho) \log(R/\rho)$ は、$C_{\text{iP},\Omega} \geq c_1 (R/\rho)$ を満たす領域が存在するため、ほぼ最良であることが示された。
• 本手法により、逆発散作用素とソボレフ空間における基本的不等式との間の構成的かつ定量的関係が得られ、領域の幾何構造に明示的に依存する形で記述された。