[論文レビュー] An Elementary Proof of the Fundamental Theorem of Tropical Algebra

Nathan Grigg, Nathan Manwaring|ArXiv.org|Jul 17, 2007

Polynomial and algebraic computation被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、有理数トロピカル半環上でのトロピカル代数の基本定理の初等的証明を提示し、有理数係数をもつ1変数のトロピカル多項式が、関数的同値関係を除いて一意に一次トロピカル多項式に因数分解できることを示している。主な革新は、最小係数多項式を標準的代表元として用いることであり、これにより構成的因数分解アルゴリズムが可能となり、有理数がトロピカル的代数的閉包であることが示された。

ABSTRACT

In this paper we give an elementary proof of the Fundamental Theorem of Algebra for polynomials over the rational tropical semi-ring. We prove that, tropically, the rational numbers are algebraically closed. We provide a simple algorithm for factoring tropical polynomials of a single variable. A central idea is the concept of least-coefficient polynomials as representatives for classes of functionally equivalent polynomials. This idea has importance far beyond the proof of the Fundamental Theorem of Tropical Algebra.

研究の動機と目的

• 有理数トロピカル半環上でのトロピカル代数の基本定理に対する、アクセス可能で初等的な証明を提供すること。
• 有理数がトロピカル多項式因数分解に関して代数的閉であることを確立すること。
• 最小係数多項式という概念を導入・形式化し、関数的同値類の標準的代表元としての役割を明確にすること。
• この標準形を用いた構成的因数分解アルゴリズムの開発。
• コーナー集合（零点集合）の定義に基づき、トロピカル根の幾何的・代数的意味を明確にすること。

提案手法

• 加法を最小値、乗法を通常の加法とする、有理数と∞を含むトロピカル半環 (Q ∪ {∞}, ⊕, ⊙) を定義する。
• 関数的同値（f ∼ g）を多項式関数としての等価性として定義し、係数ごとの等価性とは区別する。
• ある係数が、関数を変化させずに下げることができない場合に最小係数と定義し、その係数が最小値を達成する点に到達するときかつそのときに限り最小係数であることを証明する。
• すべての係数が最小係数である多項式である最小係数多項式を定義し、それが関数的同値類の唯一の代表元であることを証明する。
• 最小係数多項式を、連続する係数間の差 d_i に対応する一次項 (x ⊕ d_i) の積として表現する因数分解アルゴリズムを構築する。
• 一次因数 (x ⊕ d) が f(x) を割り切るための必要十分条件は、d が f(x) のコーナー点、すなわち少なくとも2つの単項式が最小値を同時に達成する点であることであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張されたトロピカル構造に依存せずに、トロピカル代数の基本定理を初等的に証明できるか？
• RQ2 関数的同値性はトロピカル多項式因数分解において果たす役割は何か？ そして、それをアルゴリズム的にどのように管理できるか？
• RQ3 各関数的同値類に対して、標準的代表元をどのように構成できるか？
• RQ4 コーナー集合の観点から、トロピカル根の正確な代数的・幾何的意味は何か？
• RQ5 なぜ有理数トロピカル半環は、トロピカル因数分解に関して代数的閉なのであるか？

主な発見

• 有理数を係数にもつ任意のトロピカル多項式は、関数的同値関係において唯一の最小係数多項式に等価である。
• 最小係数多項式の一次因数 (x ⊕ d_i) への因数分解は、d_i の順序を除いて一意的である。
• 一次因数 (x ⊕ d) が f(x) を割り切るための必要十分条件は、d が f のコーナー点、すなわち f(d) が少なくとも2つの単項式によって最小値を達成する点であることである。
• 最小係数多項式における連続する係数間の差 d_i = a_{i-1} - a_i は、正確にトロピカル根に対応する。
• 多項式のトロピカル零点集合（コーナー集合）は、複数の単項式が最小値を同時に達成する点の集合であり、これらの点は一意的因数分解における因数に対応する。
• この結果は任意の順序体へと拡張可能であり、∞を加えた任意の順序体はトロピカル的代数的閉であることが示された。