[論文レビュー] An elementary proof of the Vigdergauz equations for a class of square symmetric structures

Dag Lukkassen, Annette Meidell+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、基本定理を用いることで、滑らかで単一の穴を持つ構造に限らない、より広いクラスの正方形対称で周期的に貫通した弾性体構造について、ヴィグデルガウツ方程式の初等的証明を提示する。有効弾性係数 $K^*$, $G^*$, $G^*_{45}$ が、局所的弾性係数 $K$, $G$ と、周期細胞の幾何学的形状にのみ依存する幾何定数 $A_1$, $A_2$, $A_3$ の基本関数に分離されることを確立し、従来の結果を滑らかで単一の穴を持つ細胞を超えて拡張する。

ABSTRACT

For a periodically perforated structure, for which homogenization takes place in the linear theory of elasticity, the components of the effective elasticity tensor depend in general on the geometry of the holes as well as on the local elastic properties. These dependencies were shown by Vigdergauz in [7] to be separated in an elementary way for one particular class of structures. The original proof of this relation made use of the lattice approach to describe periodic functions using complex variables. In this paper we present a proof of the so-called Vigdergauz equations for a related class of square symmetric structures. Our proof relies solely on the fundamental theorem of real variable calculus. The differences between the two mentioned classes of structures are nontrivial which makes our result a partial generalization as well.

研究の動機と目的

• 滑らかで単一の穴を持つ周期的構造に対して既に導出済みのヴィグデルガウツ方程式を、より広いクラスの正方形対称で周期的に貫通した弾性材料へと拡張すること。
• 複素解析や格子論を用いず、実変数関数の微積分の基本定理にのみ依存する証明を提供すること。
• リプシッツ連続な境界と横方向の線分を持つ構造に対して、有効弾性係数が局所的材料特性と幾何定数に分離されることを確立すること。
• 有効弾性テンソルの正定値性を用いて、幾何定数 $A_1$, $A_2$, $A_3$ の非負性を検証すること。
• 周期細胞に複数の穴が存在する、または滑らかでない境界を持つ場合でも、導出された関係式が成り立つことを示し、従来の結果を一般化すること。

提案手法

• 証明は、周期細胞を横方向および縦方向の直線に沿って応力およびひずみ成分を積分する基本定理を用いる。周期性と対称性を活用する。
• 細胞内に座標軸に平行な線分が穴を避けるものと仮定し、$x$ と $y$ の方向で独立に積分可能であることを保証する。
• 平均応力およびひずみ成分は、周期性と線形弾性のヴォイチト記法を用いて関連づけられ、局所的および有効弾性係数を結びつける。
• ひずみ-変位関係を積分し、周期的境界条件を適用することで、有効なコンプライアンス行列成分の式が導かれる。
• 幾何定数 $A_1$, $A_2$, $A_3$ は、細胞の境界に沿った応力微分の積分として現れ、直接的に細胞の幾何学的形状に依存する。
• 有効コンプライアンス行列の固有値が正であることを示すことで、$A_1$, $A_2$, $A_3$ の非負性が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素解析や格子理論を用いずに、実変数関数の微積分の基本定理のみを用いてヴィグデルガウツ方程式を証明できるか？
• RQ2 複数の穴や滑らかでない境界を持つ構造に対しても、有効弾性係数が局所的特性と幾何定数に分離する関係が成り立つか？
• RQ3 正方形対称構造における幾何定数 $A_1$, $A_2$, $A_3$ は、周期細胞の形状と穴の配置にどのように依存するか？
• RQ4 一般化されたヴィグデルガウツ方程式における幾何定数の非負性を保証する条件は何か？
• RQ5 周期細胞を $\pi/4$ の角度で貫通する線分が穴と交差する場合でも、方程式の形が保たれるように証明を適応可能か？

主な発見

• 有効体積弾性係数は $\frac{1}{K^*} = \frac{1}{K} + A_1\left(\frac{1}{K} + \frac{1}{G}\right)$ を満たし、$A_1$ は周期細胞の幾何学的形状にのみ依存する。
• 有効ねじ切り弾性係数は $\frac{1}{G^*} = \frac{1}{G} + A_2\left(\frac{1}{K} + \frac{1}{G}\right)$ を満たし、$A_2$ は細胞の積分から導かれる幾何定数である。
• 有効横方向ねじり弾性係数は $\frac{1}{G^*_{45}} = \frac{1}{G} + A_3\left(\frac{1}{K} + \frac{1}{G}\right)$ を満たし、$A_3$ は細胞の幾何学的形状に依存する。
• 幾何定数 $A_1$, $A_2$, $A_3$ は非負であり、有効弾性テンソルの正定値性と、それに伴うコンプライアンス行列の固有値の正の性質によって確認された。
• 滑らかさや穴の数に関する仮定を緩和することで、元のヴィグデルガウツの結果を一般化し、リプシッツ連続な境界と複数の穴を持つ構造に対しても方程式が成り立つことを示した。
• 複素解析を避け、基本定理と周期性にのみ依存するため、導出がより明快で、広く適用可能である。