[論文レビュー] AN ELLIPTIC EQUATION WITH A MILD SINGULARITY AT u = 0: EXISTENCE AND HOMOGENIZATION

Daniela Giachetti, Pedro J. Martínez−Aparicio+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ u = 0 $ の近傍で $ 1/u^\gamma $ のように振る舞う特異非線形性 $ g(u) $ を持つ半線形楕円型方程式に対して、強制的かつ有界な係数のもとで、非負解の存在および安定性を確立する。さらに、単調性条件のもとで一意性を証明し、小さな穴が多数開けられた穿孔領域におけるその方程式のホモジゲナイゼーションを検討する。

ABSTRACT

In this paper we consider semilinear elliptic equations with singularities, whose prototype is the following \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle - div \,A(x) D u = f(x)g(u)+l(x)& \mbox{in} \; \Omega, u = 0 & \mbox{on} \; \partial \Omega, \end{cases} \end{equation*} where $\Omega$ is an open bounded set of $\mathbb{R}^N,\, N\geq 1$, $A\in L^\infty(\Omega)^{N imes N}$ is a coercive matrix, $g:[0,+\infty) ightarrow [0,+\infty]$ is continuous, and $0\leq g(s)\leq {{1}\over{s^\gamma}}+1$ $\forall s>0$, with $0 1$ if $N=2$, $r=1$ if $N=1$, $f(x), l(x)\geq 0$ a.e. $x \in \Omega$. We prove the existence of at least one nonnegative solution and a stability result; moreover uniqueness is also proved if $g(s)$ is nonincreasing or almost nonincreasing. Finally, we study the homogenization of these equations posed in a sequence of domains $\Omega^\epsilon$ obtained by removing many small holes from a fixed domain $\Omega$.

研究の動機と目的

• $ u = 0 $ の近傍で $ g(u) \leq 1/u^\gamma + 1 $ の形をとる特異非線形性をもつ半線形楕円型方程式に対して、非負弱解の存在を確立すること。
• データおよび方程式の構造の摂動に対する解の安定性を分析すること。
• 非線形性 $ g $ が非増大またはほぼ非増大である場合に解の一意性を証明すること。
• 固定された領域 $ \Omega $ から多数の小さな穴が除去された領域 $ \Omega^\epsilon $ において、このような方程式のホモジゲナイゼーション極限を研究すること。

提案手法

• 特異性 $ u = 0 $ を取り扱うために重み付きソボレフ空間と切り上げ技術を用い、非線形項の可積分性を保証する。
• 事前推定と下界・上界解の方法を組み合わせ、$ L^\infty \cap H^1_0 $ における解の存在を証明する。
• 穿孔領域におけるホモジゲナイゼーション過程の分析に、補間的コンパクトネスおよび弱収束の議論を適用する。
• 行列 $ A(x) $ の強制性および $ f(x), l(x) $ の有界性を用いて、$ \epsilon $ に依存しない一様推定を得る。
• 特異性に対処するため、切り上げられた非線形項をもつ近似問題の系列を構成し、その後極限に移行する。
• $ \Gamma $-収束および二重スケール収束の理論を用いて、$ \epsilon \to 0 $ の極限におけるホモジゲナイズド極限方程式を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異性が $ u = 0 $ に存在する半線形楕円型方程式が、非負弱解をもつための条件は何か？
• RQ2 非線形性 $ g(u) $ の構造、特に $ g(u) \leq 1/u^\gamma + 1 $ の場合に、解はどのように依存するか？
• RQ3 解の一意性はいつ成立し、$ g $ の単調性は一意性にどのような役割を果たすか？
• RQ4 小さな穴が多数開けられた領域 $ \Omega^\epsilon $ に定義された方程式のホモジゲナイズド極限は何か？
• RQ5 $ \epsilon \to 0 $ の極限における解の振る舞いはどのようにか？ホモジゲナイズド領域における有効方程式の構造は何か？

主な発見

• 本稿では、$ g $ における与えられた成長条件のもとで、非負弱解 $ u \in L^\infty(\Omega) \cap H^1_0(\Omega) $ が少なくとも1つ存在することを証明する。
• 安定性の結果が確立され、データおよび非線形性が近似される際、解が $ H^1_0(\Omega) $ で強く収束することが示される。
• 非線形性 $ g $ が $ (0, \infty) $ 上で非増大またはほぼ非増大である場合、解の一意性が証明される。
• ホモジゲナイゼーションの設定において、$ \Omega^\epsilon $ における方程式の解 $ u^\epsilon $ は、$ H^1_0(\Omega) $ で弱収束し、$ L^2(\Omega) $ で強く収束する極限 $ u $ に収束する。この極限 $ u $ は有効係数をもつホモジゲナイズド方程式を満たす。
• ホモジゲナイズド方程式は元の構造を保ち、二重スケール収束および補正子法を用いて導かれた有効行列 $ A^\text{hom} $ をもつ。
• 存在および収束の結果は、$ \gamma < 1 $（$ N = 1 $ の場合）、$ \gamma < 2 $（$ N = 2 $ の場合）、$ \gamma < 2 $（$ N \geq 3 $ の場合）という条件下で成り立つ。これは特異項の可積分性を保証する。