[論文レビュー] An elliptic sequence is not a sampled linear recurrence sequence

Florian Luca, Thomas Ward|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有理数体上の楕円曲線上の非 torsion 有理点の倍数の分母から得られる整数列 $(z_n)$ が、いかなる整数線形再帰列の平方添え字項とも最終的にならないことを証明する。Diophantine 法および $p$-adic 法を用いて、楕円整除列の特徴的な2次指数的成長と算術的構造が、線形再帰列の線形指数的成長とは根本的に異なることを示し、平方添え字でサンプリングしても同様である。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve defined over the rationals and in minimal Weierstrass form, and let $P=(x_1/z_1^2,y_1/z_1^3)$ be a rational point of infinite order on $E$, where $x_1,y_1,z_1$ are coprime integers. We show that the integer sequence $(z_n)$ defined by $nP=(x_n/z_n^2,y_n/z_n^3)$ for all $n\ge 1$ does not eventually coincide with $(u_{n^2})$ for any choice of linear recurrence sequence $(u_n)$ with integer values.

研究の動機と目的

• 楕円整除列（EDS）が線形再帰列（LRS）のサンプリング項として実現可能かどうかという未解決問題を解消すること。
• 有理数体上の楕円曲線上の非 torsion 有理点 $P$ に対して $nP$ の分母によって定義される列 $(z_n)$ が、いかなる整数線形再帰列 $(u_n)$ の平方添え字項 $(u_{n^2})$ とも最終的に一致しないことを確立すること。
• EDS が内在する算術的性質および成長特性——2次指数的成長と整除構造——が、線形再帰列ですら、平方添え字でサンプリングしても再現不可能であることを示すこと。
• 2つの異なる証明を提供すること：1つは $S$-unit 方程式と行列式の非消滅に依拠する Diophantine 証明、もう1つは Hensel の補題と素イデアルを法とする還元に依拠する $p$-adic 証明。
• EDS と LRS の構造的非同型性を強化するために、$(z_{\ell n})$ のような部分列ですら、LRS の再帰的性質を満たさないことを示すこと。この部分列は EDS そのものであるにもかかわらず。

提案手法

• 特定の行列式の消滅を仮定することで、$S$-unit 方程式に基づく Diophantine 手法を用い、その解が有限個に限られることを示し、線形再帰列が要求する無限構造と矛盾することを示す。
• $p$-adic 分析を用い、数体拡張における素イデアル $\pi$ を法として還元し、行列式の非消滅を用いて、行列式の恒等式から矛盾を導出する。
• Hensel の補題を用いて、$r$ を法とする解を $L/N$ を法とする解に持ち上げることで、重要な合同条件を満たす適切な $\ell_j$ の構成を可能にする。
• 数体上の行列式系の非退化性を用いて、仮定された線形再帰列の存在下で、$\pi$ を法とする方程式系が、重解または1に等しい根を要請することになり、特徴多項式の非退化性条件に反することを強制する。
• 線形再帰列の特性多項式を扱い、支配的根の重複度を分析することで、成長の一致を排除する。
• 標準高 $c$ が $ \log z_n \sim c n^2$ という2次指数的成長を支配することを用い、これは線形再帰列の $|u_n| \sim C^n n^k$ 的成長と根本的にならないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数体上の楕円曲線上の非 torsion 有理点の倍数の分母によって定義される列 $(z_n)$ は、いかなる整数線形再帰列の平方添え字項とも最終的に一致可能か？
• RQ2 EDS の2次指数的成長と LRS の線形指数的成長という異なる成長率が、サンプリングを経ても、そのような一致を妨げるか？
• RQ3 Zsigmondy の性質や整除性の挙動といった、算術的障害が、EDS が線形再帰列にサンプリングによって埋め込まれることを防いでいるか？
• RQ4 $p$-adic または Diophantine 手法を用いて、EDS の再帰的構造が、再インデックスを施してもいかなる線形再帰列によっても模倣できないことを証明可能か？
• RQ5 線形再帰列 $(u_n)$ に対して $z_n = u_{n^2}$ を仮定した場合、数体上の行列式系における特定の小行列式の非消滅が、矛盾を引き起こすか？

主な発見

• 有理数体上の楕円曲線上の非 torsion 有理点の倍数の分母から得られる列 $(z_n)$ は、いかなる整数線形再帰列 $(u_n)$ の平方添え字項 $(u_{n^2})$ とも最終的に一致しない。
• Diophantine 証明では、そのような一致を仮定すると、解が有限個に限られる $S$-unit 方程式が得られ、線形再帰列が要求する無限性と矛盾する。
• $p$-adic 証明では、素イデアル $\pi$ を法とする還元、Hensel の補題、行列式の非消滅を用い、そのような再帰列の存在を仮定した場合に矛盾を導出する。
• 矛盾は、$\pi$ を法とする方程式系が、重解または1に等しい根を要請する必要があることから生じる。これは特徴多項式の非退化性条件に反する。
• 部分列 $(z_{\ell n})$ を考えても、この部分列は EDS そのものであり、依然としていかなる線形再帰列の再帰的構造を満たさない。
• 点 $P$ の標準高 $c$ が $ \log z_n \sim c n^2$ という成長を支配しており、これは線形再帰列の $|u_n| \sim C^n n^k$ 的成長と根本的にならない。