[論文レビュー] An embedded corrector problem to approximate the homogenized coefficients of an elliptic equation

Éric Cancès, Virginie Ehrlacher+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 16被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、高周波数成分を有する係数を持つ楕円型偏微分方程式における均質化係数の近似のための埋め込み補正問題を導入する。球の半径Rの外部で一様な拡散行列を有する全空間上での拡散方程式を解くことにより、R → ∞ のとき、A⋆に収束する3つの近似を定義しており、標準的なスーパセル法の数値的効率の良い代替手法を提供する。

ABSTRACT

We consider a diffusion equation with highly oscillatory coefficients that admits a homogenized limit. As an alternative to standard corrector problems, we introduce here an embedded corrector problem, written as a diffusion equation in the whole space in which the diffusion matrix is uniform outside some ball of radius $R$. Using that problem, we next introduce three approximations of the homogenized coefficients. These approximations, which are variants of the standard approximations obtained using truncated (supercell) corrector problems, are shown to converge when $R \ o \\infty$. We also discuss efficient numerical methods to solve the embedded corrector problem.

研究の動機と目的

• 高周波数成分を有する係数を持つ楕円型PDEにおける均質化係数A⋆を計算する課題に取り組むこと、特に周期的でないか、確率的定常な設定において。
• 全空間上で補正問題を解く困難さを克服するため、新しい埋め込み補正定式化を導入すること。
• 均質化行列A⋆にR → ∞ のとき収束する3つの新しいA⋆の近似を構築すること。
• 特に境界積分表現を用いることで、標準的なスーパセル（切断補正）法の数値的効率の良い代替手法を提供すること。
• 提案された近似の理論的収束を確立し、特に等方的均質化のような特別な場合における解の存在を証明すること。

提案手法

• R^d 上の拡散方程式として埋め込み補正問題を定式化し、球B_R 内で不均質な拡散行列Aを、外部では定数行列A^R_1 を用いる。
• 最初の近似A^R_1 を、埋め込み補正問題の解を用いて球B_R 上でのフラックスの平均値として定義する。
• 2番目の近似A^R_2 を、不均質系のエネルギーと均質系（行列A^R_2 を有する）のエネルギーを等置する形式的エネルギー等式により定義する。
• 3番目の近似A^R_3 を、自己整合的方程式A^R_3 = G^{R,\mathbb{A}}(A^R_3) を通じて導入する。ここでG^{R,\mathbb{A}}は、埋め込み補正問題の解から得られるフラックスの平均値を行列に写像する写像である。
• 境界積分表現を用いて、埋め込み補正問題の効率的数値解法を可能にする。
• 仮定2.1の下で、R → ∞ のとき、3つの近似すべてが真の均質化行列A⋆に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高周波数成分を有する係数を持つ楕円型PDEにおける均質化係数の近似のため、新たな埋め込み補正問題を定式化できるか？
• RQ2 提案された3つの近似A^R_1、A^R_2、A^R_3 は、領域半径R → ∞ のとき、真の均質化行列A⋆に収束するか？
• RQ3 境界積分表現などの数値的手法を用いて、埋め込み補正問題を効率的に解くことができるか？
• RQ4 自己整合的方程式A^R_3 = G^{R,\mathbb{A}}(A^R_3) が解を有する条件は何か？また、その解が収束する近似を与えるか？
• RQ5 提案された近似は、標準的なスーパセル法と比較して、精度と計算効率の点で優れているか？

主な発見

• 球B_R 上でのフラックス平均により定義される近似A^R_1 は、仮定2.1の下でR → ∞ のときA⋆に収束する。
• エネルギー等式により定義される近似A^R_2 は、R → ∞ の極限においてもA⋆に収束する。
• 自己整合的方程式A^R_3 = G^{R,\mathbb{A}}(A^R_3) を満たす近似A^R_3 は、列R_k → ∞ かつ解が存在する場合、A⋆に収束する。
• 等方的ケース（A^\star = a^\star I_d）では、任意のR > 0 に対してスカラー解a^R_3 が存在し、R → ∞ のときa^R_3 → a^\star を満たす。
• 1次元問題では、A^R_1、A^R_2、A^R_3 の明示的表現を導出し、それらがA⋆に収束することを示せる。
• AがB_R 内で定数である場合、3つの近似はすべて同じ定数行列に一致する：A^R_1 = A^R_2 = A^R_3 = A。