[論文レビュー] An Energetic Variational Approach for the Cahn-Hilliard Equation with Dynamic Boundary Conditions

Chun Liu, Hao Wu|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2017

Solidification and crystal growth phenomena被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、最小作用の原理とオンサージェーの最大エネルギー散逸原理を組み合わせたエネルギー的変分的アプローチを用いて、Cahn-Hilliard方程式に対する動的境界条件の新規クラスを提案する。モデルは質量保存、エネルギー散逸、力の釣り合いを保証し、表面拡散を含む・含まない場合を問わず、グローバル弱解・強解の存在、一意性、長時間安定性を確立する。

ABSTRACT

The Cahn--Hilliard equation is a fundamental model that describes phase separation processes of binary mixtures. In recent years, several types of dynamic boundary conditions have been proposed in order to account for possible short-range interactions of the material with the solid wall. Our first aim in this paper is to propose a new class of dynamic boundary conditions for the Cahn--Hilliard equation in a rather general setting. The derivation is based on an energetic variational approach that combines the least action principle and Onsager's principle of maximum energy dissipation. One feature of our model is that it naturally fulfills three important physical constraints such as conservation of mass, dissipation of energy and force balance relations. Next, we provide a comprehensive analysis of the resulting system of partial differential equations. Under suitable assumptions, we prove the existence and uniqueness of global weak/strong solutions to the initial boundary value problem with or without surface diffusion. Furthermore, we establish the uniqueness of asymptotic limit as $t o+\infty$ and characterize the stability of local energy minimizers for the system.

研究の動機と目的

• Cahn-Hilliard方程式における動的境界条件の物理的に整合性のあるフレームワークを構築し、壁相互作用を考慮する。
• モデルが基本的な物理的制約（質量保存、エネルギー散逸、力の釣り合い）を満たすように保証する。
• 一般設定下での、得られた初期境界値問題の適切性を分析する。
• 長時間挙動を調査し、漸近的極限の一意性および局所エネルギー最小解の安定性を検討する。

提案手法

• 最小作用の原理とオンサージェーの最大エネルギー散逸原理を組み合わせたエネルギー的変分的アプローチを用いて、系を導出する。
• エネルギー散逸と境界および内部における力の釣り合いを自然に強制する変分的構造を定式化する。
• 界面動態を考慮するため、表面拡散をモデルへの追加項として組み込む。
• 適切な仮定の下でエネルギー推定とコンパクト性の議論を用いて、弱解および強解理論を確立する。
• リャプノフ型汎関数解析を用いて、長時間挙動および解の漸近的安定性を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cahn-Hilliard方程式の動的境界条件は、主要な物理法則を保存する形でどのように導出可能か？
• RQ2 このような境界条件を伴う初期境界値問題に対して、グローバル解の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ3 この系は、時間無限大における一意な漸近的状態に収束するか？
• RQ4 提案されたモデル下で、局所エネルギー最小解は安定性の観点からどのように振る舞うか？

主な発見

• 提案された動的境界条件は、自然に質量保存、エネルギー散逸、力の釣り合いを満たし、物理的整合性を確保する。
• 表面拡散を含む・含まない場合を問わず、適切な仮定の下でグローバル弱解および強解が存在し、一意的である。
• 時間無限大における解の漸近的極限は一意的であり、長時間収束を示す。
• このモデルの力学的条件下で、系の局所エネルギー最小解は安定である。