[論文レビュー] An energy-based discontinuous Galerkin method for the wave equation with advection

Lu Zhang, Thomas Hagstrom+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、移流項を含む波動方程式に対して、時間微分と空間微分を組み合わせた第二変数を導入する混合形式を用いてエネルギー安定性を保つエネルギーに基づく不連続ガラーキン（DG）法を提案する。この手法は、構造化メッシュ上での上流フラックスを用いることで、L²ノルムにおける最適収束を達成し、メッシュ依存のパrameterを用いずに、亜音速および超音速流れの両方に対してエネルギー安定性を保証する。

ABSTRACT

An energy-based discontinuous Galerkin method for the advective wave equation is proposed and analyzed. Energy-conserving or energy-dissipating methods follow from simple, mesh-independent choices of the inter-element fluxes, and both subsonic and supersonic advection is allowed. Error estimates in the energy norm are established, and numerical experiments on structured grids display optimal convergence in the $L^2$ norm for upwind fluxes. The method generalizes earlier work on energy-based discontinuous Galerkin methods for second order wave equations which was restricted to energy forms written as a simple sum of kinetic and potential energy.

研究の動機と目的

• 従来のエネルギーに基づくDG法では直接扱えない第二階の移流付き波動方程式に対して、安定で高次精度のDG法を開発すること。
• メッシュ依存のパrameterを用いずに、単純でメッシュに依存しないフラックス選択（上流または中央）によりエネルギー安定性を保証すること。
• 移流項に起因する分離不可能なエネルギー密度を有する問題へ、エネルギーに基づくDG定式化を拡張すること。特に、航空音響学および流体-構造相互作用に重要である。
• エネルギーノルムにおける厳密な誤差推定を確立し、構造化メッシュ上での上流フラックスを用いた数値実験で最適収束を示すこと。

提案手法

• 第二階の移流付き波動方程式を時間に関して一階系に再定式化するため、$ v = \frac{\partial u}{\partial t} + \mathbf{w} \cdot \nabla u $ を導入する。
• 離散エネルギー形式 $ E_j^h = \int_{\Omega_j} \frac{1}{2}(v^h)^2 + \frac{c^2}{2}|\nabla u^h|^2 $ を定義し、連続エネルギー恒等式と整合性を保つ。
• 要素界面における数値フラックスを用いた弱形式を採用し、離散エネルギーバランスを保つ。上流フラックスを用いることで、あらゆる流れ状態においてエネルギー安定性を確保する。
• 多角形要素（三角形または四角形）上において、$ u^h $ と $ v^h $ にそれぞれ次数 $ q $ および $ s $ の多項式近似を適用する。
• 適切なテスト関数で弱形式をテストし、トレース不等式および逆推定を用いて得られる項を評価することで、エネルギーおよび誤差推定を導出する。
• 上流フラックスを用いて亜音速および超音速流れを処理し、移流ベクトル $ \mathbf{w} $ の方向に応じてフラックスの定式化を別個に設定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー密度に時間・空間微分の混合項を含む移流付き波動方程式に対して、エネルギーに基づくDG法を一般化できるか？
• RQ2 提案手法は、メッシュ依存の安定化パrameterを用いずに、亜音速および超音速流れの両方に対してエネルギー安定性を保証するか？
• RQ3 上流フラックスと中央フラックスの両方において、L²ノルムにおける収束率は何か？また、構造化メッシュ上での最適性は達成されるか？
• RQ4 境界条件の種別に応じた1次元および2次元問題において、誤差推定および収束挙動はどのように比較されるか？
• RQ5 線形化航空音響学に現れるような、より一般的な正則な双曲型系へ、本手法を拡張可能か？

主な発見

• 上流フラックスを用いる場合、主変数 $ u $ においてL²ノルムで最適収束を達成し、収束率は多項式次数 $ q $ と一致する。1次元および2次元の数値実験により確認された。
• 中央フラックスを用いる場合、エネルギーノルムにおける収束率は理論的誤差推定と一致し、1次低下する。
• 1次元では、上流フラックスに対して最適収束が証明されており、数値結果から $ u $ のL²ノルムにおける収束率が $ q+1 $ に近い値を示す。
• 2次元では、ディリクレ境界条件および放射境界条件を想定した場合、周期的問題と同様の収束率を示す。$ q $ が奇数のとき、$ u $ の収束率は $ q+1 $、$ v $ の収束率は $ q $ に近づく。
• メッシュ依存のパrameterを必要とせず、単純でメッシュに依存しないフラックス選択（上流または中央）により、エネルギー安定性が保証される。
• 上流フラックスは、移流ベクトル $ \mathbf{w} $ の方向に応じて適応され、亜音速および超音速流れを一様に処理できる。