[論文レビュー] An Energy Estimate for Dislocation Configurations and the Emergence of Cosserat-Type Structures in Metal Plasticity

Gianluca Lauteri, Stephan Luckhaus|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2016

Microstructure and mechanical properties参考文献 10被引用数 13

ひとこと要約

本稿は2次元非線形弾性格子における不純物配置の厳密なエネルギー推定を確立し、低エネルギー状態がコッサレ・型のマイクロ回転構造に収束することを示している。粒界エネルギーの最良の上界および下界を確立し、実験的に観察される歪み角依存性と一致する対数的依存性が物理的に最適であることを確認した。また、調和的補助関数と幾何的剛性を用いて、区分的定数マイクロ回転のクラスにおけるコンパクト性を確立した。

ABSTRACT

We investigate low energy structures of a lattice with dislocations in the context of nonlinear elasticity. We show that these low energy configurations exhibit in the limit a Cosserat-like behavior. Moreover, we give bounds from above and below to the energy of such configurations.

研究の動機と目的

• 2次元非線形弾性格子における不純物配置のエネルギー境界を厳密に導出すること。
• アニールとクエンチング処理後の金属におけるコッサレ型マイクロ構造の出現を説明すること。
• マイクロ回転、すなわち区分的定数回転場のクラスにおける低エネルギー配置のコンパクト性を確立すること。
• リード＝ショックレーのエネルギー式における対数的項が、鋭い上界および下界を用いて最適であることを証明すること。
• アトム的不純物モデルと連続体的コッサレ型モデルを、$γ$-極限解析によって橋渡しすること。

提案手法

• 不純物コア外部の弾性エネルギーと、ひずみに依存しないコアエネルギーを組み合わせたエネルギー汎関数 $\mathcal{F}_{\varepsilon}(A,S) = \mathcal{E}_{\text{el},\varepsilon}(A,S) + \mathcal{E}_{\text{core},\varepsilon}(S)$ を定式化した。
• ギンツブルグ＝ランドウ理論にインspiredされたボール構成法を用いて、任意の許容可能な配置に対して調和的補助関数を構成し、エネルギーの制御と正則性を保証した。
• 覆いの議論（補題8）を用いて、特異集合の細かいフォリエーションを構築し、スケーリングされたエネルギーに対する密度推定を可能にした。
• 文献[15]および[3]における幾何的剛性結果を適用し、列がマイクロ回転へ $L^2(\Omega)$ で強い収束することを導いた。
• スライシング議論と測度 $\mu_j$ の弱-* 収束を用いて、スケーリングされたエネルギーの極限およびマイクロ回転のジャンプを特徴づけた。
• 特異集合の $1$-密度がスケーリングされたエネルギーによって制御されることを示す密度推定（定理2）を導出し、マイクロ回転クラスにおけるコンパクト性を導いた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形弾性格子における不純物配置のエネルギーは、実験で観察される歪み角依存性を捉える形で、上界および下界で抑えられるか？
• RQ2 2次元格子における低エネルギー不純物配置は、$\varepsilon \to 0$ の極限でマイクロ回転構造に収束するか？
• RQ3 アトム的から連続体的枠組みにおいて、リード＝ショックレーの式における対数的項が最適であるか？
• RQ4 任意の低エネルギー不純物配置に対して、元のエネルギーと同等であり、コア外部でラプラス型方程式を満たす調和的補助関数を構成できるか？
• RQ5 $\varepsilon \to 0$ の極限において、不純物線に沿ったエネルギー集中に関連する極限測度の正確な構造は何か？

主な発見

• 粒界エネルギーの上界は $C_0 \tau \alpha L (|\log(\alpha)| + 1)$ のスケーリングに従い、$\varepsilon \to 0$ の極限でリード＝ショックレーの式と一致し、物理的妥当性を裏付けた。
• 任意の低エネルギー配置の列は、エネルギーが同等であり、$L^2(\Omega)$ でマイクロ回転へ強い収束を示す補助列を有する。これにより、マイクロ回転クラスにおけるコンパクト性が証明された。
• エネルギーの下界が最適であることが示され、対数的項 $|\log(\alpha)|$ が必須であり、取り除けないことが判明した。
• 特異集合 $S$ を超えてマイクロ回転のジャンプは $|A^+ - A^-| |\log(|A^+ - A^-|)| \mathcal{H}^1 \llap{\mathbin{\vrule height6.88889pt,depth0.0pt,width0.55974pt}\vrule height0.55974pt,depth0.0pt,width5.59721pt} S \leq C \mu$ を満たす。ここで $\mu$ はスケーリングされたエネルギー測度の弱-* 収束極限である。
• 極限測度 $\mu$ は不純物線に沿ったエネルギー集中を捉えており、$\mu \geq C \alpha L \varepsilon_j |\log(\alpha)|$ を満たす。これによりエネルギースケーリングの鋭さが証明された。
• 本結果は、2次元非線形弾性における不純物配置の $\gamma$-極限としてコッサレ型マイクロ構造が自然に出現することを示し、塑性におけるコッサレ連続体モデルの微視的根拠を提供する。