[論文レビュー] An Energy Stable Finite-Difference Scheme for Functionalized Cahn-Hilliard Equation and its Convergence Analysis

Wenqiang Feng, Zhen Guan+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2016

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、両親媒性系における相分離をモデル化する6階非線形放物型PDE（FCH方程式）に対して、無条件エネルギー安定かつ収束性を保証する有限差分スキームを提案する。非凸なエネルギー関数を凸化するために補助項を導入することで、一意的な可解性と無条件エネルギー安定性を確保する凸分割法を適用可能にした。収束性は、全時刻における$H_{\rm per}^{2}$安定性と、$H^{-1}$勾配流れ系に対する効率的なプリコンディショニング付き最急降下法ソルバを用いて証明された。

ABSTRACT

We present and analyze an unconditionally energy stable and convergent finite difference scheme for the Functionalized Cahn-Hilliard equation. One key difficulty associated with the energy stability is based on the fact that one nonlinear energy functional term in the expansion appears as non-convex, non-concave. To overcome this subtle difficulty, we add two auxiliary terms to make the combined term convex, which in turns yields a convex-concave decomposition of the physical energy. As a result, an application of the convex splitting methodology assures both the unique solvability and the unconditional energy stability of the proposed numerical scheme. To deal with a 4-Laplacian solver in an $H^{-1}$ gradient flow at each time step, we apply an efficient preconditioned steepest descent algorithm to solve the corresponding nonlinear systems. In addition, a global in time $H_{ m per}^2$ stability of the numerical scheme is established at a theoretical level, which in turn ensures the full order convergence analysis of the scheme. A few numerical results are presented, which confirm the stability and accuracy of the proposed numerical scheme.

研究の動機と目的

• 両親媒性系の相分離に現れる高次非線形性を有する6階FCH方程式に対して、数値的に安定かつ収束性を有するスキームの構築を目的とする。
• エネルギー関数の非凸性に起因するエネルギー安定性解析および数値的実装の困難さを克服することを目的とする。
• 時間ステップ制限なしに、無条件エネルギー安定性とスキームの一意的可解性を保証することを目的とする。
• 各時間ステップで生じる$H^{-1}$勾配流れ系に対する効率的な非線形ソルバの設計を目的とし、大規模シミュレーションを可能にする。
• 数値スキームの全時刻における$H_{\rm per}^{2}$安定性に基づく、厳密な収束解析の確立を目的とする。

提案手法

• エネルギー関数に2つの補助項を導入し、凸-凹分解を構築することで、凸分割法の適用を可能にする。
• 時間方向に完全陰解法、空間方向に中央差分を用いたスキームを定式化し、無条件エネルギー安定性を保証する。
• 各時間ステップで生じる非線形系を解くために、プリコンディショニング付き最急降下（PSD）アルゴリズムを適用する。
• 変分的定式化を用いて、エネルギー関数に4ラプラシアン項と高次非線形性を含む化学ポテンシャル$\mu$を導出する。
• 数値解の全時刻にわたる$H_{\rm per}^{2}$安定性を確立し、全次元収束解析の基盤を提供する。
• 周期的境界条件を採用し、質量保存とエネルギー散逸を維持するため、半陰解法による時間離散化を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FCH方程式のエネルギー関数が非凸であるにもかかわらず、無条件エネルギー安定な有限差分スキームを構築することは可能か？
• RQ2 非凸エネルギー項はどのように再定式化され、凸分割を可能にし、一意的可解性を保証できるか？
• RQ3 提案スキームの収束次数は何か？ また、安定性推定を用いて理論的に証明可能か？
• RQ4 $H^{-1}$勾配流れから生じる高次非線形系は、実際の計算でどの程度効率的に解けるか？
• RQ5 長時間にわたるシミュレーションにおいて、エネルギー散逸や質量保存といった物理的性質が数値スキームで保持されるか？

主な発見

• 補助項を用いたエネルギー関数の凸-凹分解により、無条件エネルギー安定性と一意的可解性を達成した。
• 時間方向に1次収束を示し、空間方向には理論的予測に一致する約2.0–2.5の収束率が観測された。
• プリコンディショニング付き最急降下ソルバは収束が強く安定しており、反復毎に残差がほぼ一定の要因で減少した。
• 数値実験により、長時間にわたる時間発展でもエネルギー散逸と質量保存が確認され、物理的期待と整合的であった。
• ミセルネットワーク、バイレイヤー-シリンダー接合部、Y字接合部など、複雑な形態的構造を正確に捉え、既知の実験的およびシミュレーション結果と一致した。
• 理論的に、スキームの全時刻における$H_{\rm per}^{2}$安定性が確立され、全次元収束解析が可能となった。