[論文レビュー] An energy stable fourth order finite difference scheme for the Cahn-Hilliard equation

Kelong Cheng, Wenqiang Feng+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2017

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、長スティンプ4次精度有限差分空間離散化と2次BDF時間スキームに人工正則化を組み合わせた、2次精度でエネルギー安定な有限差分スキームを、Cahn-Hilliard方程式に対して提案する。主な貢献は、テイラー展開の代わりにフーリエ解析を用いた厳密な離散ℓ²切り捨て誤差解析であり、正則性要件をH⁶にまで低減し、解の存在の一意性とエネルギー安定性を保証するとともに、ℓ∞(0,T;ℓ²) ∩ ℓ²(0,T;Hₕ²)ノルムにおける最適収束を実証する。

ABSTRACT

In this paper we propose and analyze an energy stable numerical scheme for the Cahn-Hilliard equation, with second order accuracy in time and the fourth order finite difference approximation in space. In particular, the truncation error for the long stencil fourth order finite difference approximation, over a uniform numerical grid with a periodic boundary condition, is analyzed, via the help of discrete Fourier analysis instead of the the standard Taylor expansion. This in turn results in a reduced regularity requirement for the test function. In the temporal approximation, we apply a second order BDF stencil, combined with a second order extrapolation formula applied to the concave diffusion term, as well as a second order artificial Douglas-Dupont regularization term, for the sake of energy stability. As a result, the unique solvability, energy stability are established for the proposed numerical scheme, and an optimal rate convergence analysis is derived in the $\ell^\infty (0,T; \ell^2) \cap \ell^2 (0,T; H_h^2)$ norm. A few numerical experiments are presented, which confirm the robustness and accuracy of the proposed scheme.

研究の動機と目的

• Cahn-Hilliard方程式に対して、空間精度を向上させた高次元のエネルギー安定数値スキームの開発。
• テスト関数の正則性要件を低減するため、テイラー展開の代わりにフーリエ解析を用いた離散ℓ²切り捨て誤差推定を導入。
• 人工正則化を用いた2次時間離散化の解の存在の一意性とエネルギー安定性を確立。
• ℓ∞(0,T;ℓ²) ∩ ℓ²(0,T;Hₕ²)ノルムにおける最適収束レートの導出。
• 数値実験を通じて、本スキームの頑健性と精度の妥当性を検証。

提案手法

• 空間離散化に長スティンプ4次精度有限差分近似を用い、切り捨て誤差の解析をテイラー展開の代わりに離散フーリエ解析で行う。
• 2次BDF時間スキームに、凹型拡散項の2次補間と人工Douglas-Dupont正則化項を組み合わせ、エネルギー安定性を確保する。
• 切り捨て誤差の推定に離散ℓ²ノルムを用い、古典的なC⁶境界と比較して正則性要件をH⁶にまで低減する。
• 2次元および3次元におけるフーリエスペクトル解析を適用し、aliasing誤差と切り捨て誤差推定における固有値の振る舞いを制御する。
• 離散エネルギー散逸法を用いてエネルギー安定性を厳密に証明し、スキームの構造に基づく固定点法により解の一意存在性を確立する。
• エネルギー推定と離散ソボレフ不等式を用いて、ℓ∞(0,T;ℓ²) ∩ ℓ²(0,T;Hₕ²)ノルムにおける最適収束を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cahn-Hilliard方程式に対する4次精度有限差分スキームが、2次精度時間離散化と併せてエネルギー安定性を達成できるか。
• RQ2 正則性仮定を弱めた条件下で、長スティンプ4次精度有限差分の切り捨て誤差をどのように解析できるか。
• RQ3 テイラー展開の代わりに離散フーリエ解析を用いることで、テスト関数の正則性要件にどのような影響を与えるか。
• RQ4 このようなスキームに対して、ℓ∞(0,T;ℓ²) ∩ ℓ²(0,T;Hₕ²)ノルムにおける最適収束レートを確立できるか。
• RQ5 既存の2次精度スキームと比較して、本スキームの精度と頑健性はどのように異なるか。

主な発見

• 提案スキームは時間方向に2次精度、空間方向に4次精度を達成し、ℓ∞(0,T;ℓ²) ∩ ℓ²(0,T;Hₕ²)ノルムにおいて最適収束を示す。
• H⁶正則性仮定の下で、切り捨て誤差が離散ℓ²ノルムでh⁴に比例する有界性を示し、古典的なC⁶推定と比較して正則性要件を低減する。
• 離散エネルギー散逸法を用いてエネルギー安定性を厳密に証明し、物理的エネルギーの減少特性をスキームが保つことを保証する。
• スキームの構造に基づく固定点法により、離散系の解の一意存在性が確立される。
• 離散フーリエ解析アプローチにより、2次元および3次元におけるaliasing誤差と固有値の振る舞いが適切に制御され、ℓ²切り捨て誤差推定が可能になる。
• 数値実験により、本スキームの頑健性、精度、最適収束レートが2次元および3次元で確認された。