[論文レビュー] An enhanced formulation for solving graph coloring problems with the Douglas-Rachford algorithm

Francisco J. Aragón Artacho, Rubén Campoy+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、グラフ頂点彩色問題に対するDouglas-Rachford（DR）アルゴリズムの性能を向上させるために、Karger-Motwani-Sudan（KMS）フレームワークに基づく新しい半定値計画法の定式化を提案する。二値インジケータ変数の代わりにランク制約付き行列を用いることで、DRアルゴリズムは、特に難解なスイッチング問題を含む多様なDIMACSベンチマークで100％の成功確率を達成し、極限循環の捕捉を回避する。これは、従来の定式化と比較して優れたロバスト性と効率性を示している。

ABSTRACT

We study the behavior of the Douglas-Rachford algorithm on the graph vertex-coloring problem. Given a graph and a number of colors, the goal is to find a coloring of the vertices so that all adjacent vertex pairs have different colors. In spite of the combinatorial nature of this problem, the Douglas-Rachford algorithm was recently shown to be a successful heuristic for solving a wide variety of graph coloring instances, when the problem was cast as a feasibility problem on binary indicator variables. In this work we consider a different formulation, based on semidefinite programming. The much improved performance of the Douglas-Rachford algorithm, with this new approach, is demonstrated through various numerical experiments.

研究の動機と目的

• 制約定式化を再定義することで、グラフ彩色問題を解くためのDouglas-Rachfordアルゴリズムの性能を向上させること。
• 従来の二値インジケータ変数定式化と比較して、半定値計画法の定式化（KMS）が収束性および成功確率の面で優れているかどうかを調査すること。
• 特に、射影ベースのヒューリスティクスで一般的に見られる極限循環行動を回避する点において、DRアルゴリズムのロバスト性を分析すること。
• DIMACSベンチマークスイートに含まれる大規模グラフ彩色インスタンスにおける、新しい定式化のスケーラビリティおよび効率性を評価すること。
• 非凸可行性問題における解の多様性とアルゴリズムの失敗モードとの間の経験的相関を調査すること。

提案手法

• グラフ彩色問題は、各頂点がその色割り当てを表すランク1行列に対応するKarger-Motwani-Sudan（KMS）半定値計画法フレームワークを用いて再定式化される。
• 可能性問題は、色割り当て制約を満たす行列の集合（C1）とトレースが1の半正定値行列の集合（C2）の共通部分として定義され、非凸可能性問題を形成する。
• Douglas-Rachfordアルゴリズムは、2つの制約集合に対する反射および射影作用素を用いてこの定式化に適用され、緩和パrameter λ = 0.75 が使用される。
• アルゴリズムは反復的に2つの集合に射影し、反射することで、解が存在する場合には収束するような列を生成する。
• 収束は、可解性許容誤差および最大反復回数制限を用いて監視され、Frobeniusノルムおよび行列射影を用いて実装される。
• 数値実験では、30個のDIMACSベンチマークグラフに対して、KMS定式化と従来の二値変数定式化を比較し、成功確率、実行時間、反復回数を測定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Douglas-Rachfordアルゴリズムを用いたグラフ彩色問題において、KMS半定値定式化は、二値インジケータ変数定式化よりも高い成功確率を達成するか？
• RQ2 KMS定式化は、射影ベースのヒューリスティクスの代表的な失敗モードである極限循環の捕捉を緩和できるか？
• RQ3 KMS定式化を用いた場合、異なるグラフタイプおよび彩色数においてDRアルゴリズムの性能はどのように変化するか？
• RQ4 KMS定式化の改善された性能は、解空間内の解の多様性または対称性の低減と関連しているか？
• RQ5 KMS定式化は、数百の頂点、数千の辺を有する大規模グラフ彩色問題を、実用的な時間制限内に効率的に解くことができるか？

主な発見

• KMS定式化は、テストされた30個のすべてのDIMACSベンチマークインスタンスで100％の成功確率を達成した。特に、従来の二値定式化で失敗していた myciel7 の9/10の実行でも成功した。
• 難易度の高い「悪質な」スイッチング問題（事前に色が割り当てられた問題として扱われる）では、KMS定式化が100％の成功確率を達成したが、従来の定式化では20％未満であった。
• インスタンスの平均解決時間は、ほとんどのグラフで1時間未満であり、最も長かったのは mulsol.i.2（188頂点、3,885辺、彩色数31）で63.18秒であった。
• 初期値に依存しないロバスト性を示し、1インスタンスあたり100回の実行で極限循環が一切観測されなかったため、この一般的な失敗モードに対して免疫であることが示された。
• 平均反復回数は、myciel3で7回から、mulsol.i.2で8,696回まで変動し、最高の反復回数は彩色数が高く密度の高いグラフに対応していた。
• miles1500（128頂点、5,198辺、彩色数73）のような大規模インスタンスも、平均24.65秒で効率的に解けることが確認され、スケーラビリティが示された。