[論文レビュー] An enriched multiscale mortar space for high contrast flow problems

Eric T. Chung, Shubin Fu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般化されたマルチスケール有限要素法（GMsFEM）を用いて、高対比な流れ問題におけるロバスト性と効率性を向上させる、拡張されたマルチスケールモルタル空間を提案する。スナップショット空間と適正直交分解（POD）を用いて局所的なマルチスケール基底関数を構築することで、精度の高い粗スケールスolverと、対比やドメインサイズに依存しないロバストな2段階プリコンディショナが実現される。

ABSTRACT

Mortar methods are widely used techniques for discretizations of partial differential equations and preconditioners for the algebraic systems resulting from the discretizations. For problems with high contrast and multiple scales, the standard mortar spaces are not robust, and some enrichments are necessary in order to obtain an efficient and robust mortar space. In this paper, we consider a class of flow problems in high contrast heterogeneous media, and develop a systematic approach to obtain an enriched multiscale mortar space. Our approach is based on the constructions of local multiscale basis functions. The multiscale basis functions are constructed from local problems by following the framework of the Generalized Multiscale Finite Element Method (GMsFEM). In particular, we first create a local snapshot space. Then we select the dominated modes within the snapshot space using an appropriate Proper Orthogonal Decomposition (POD) technique. These multiscale basis functions show better accuracy than polynomial basis for multiscale problems. Using the proposed multiscale mortar space, we will construct a multiscale finite element method to solve the flow problem on a coarse grid and a preconditioning technique for the fine scale discretization of the flow problem. In particular, we develop a multiscale mortar mixed finite element method using the mortar space. In addition, we will design a two-level additive preconditioner and a two-level hybrid preconditioner based on the proposed mortar space for the iterative method applied to the fine scale discretization of the flow problem. We present several numerical examples to demonstrate the efficiency and robustness of our proposed mortar space with respect to both the coarse multiscale solver and the preconditioners.

研究の動機と目的

• 高対比でマルチスケールな流れ問題に対して標準的なモルタル空間に見られるロバスト性の欠如を解消すること。
• 細密スケールの不均一性を捉えつつ次元を低く保つことのできる、体系的な拡張モルタル空間の構築法を開発すること。
• 粗グリッドおよび細密スケールの離散化に対して、効率的かつ正確なマルチスケール有限要素ソルバーやロバストなプリコンディショナを可能にすること。
• 対比レベルやドメインサイズの変化に対しても、モルタル空間が有効に機能し続けることを保証すること。

提案手法

• 粗いエッジの周囲の領域で局所問題を解き、その解をエッジに制限することで、局所的なスナップショット空間を構築する。
• スナップショット空間から主要モードを抽出するために適正直交分解（POD）を適用し、モルタル空間のマルチスケール基底関数を形成する。
• 得られたマルチスケールモルタル空間を用いて、粗いグリッド上で流れ問題を解くマルチスケールモルタル混合有限要素法を実行する。
• 細密スケール離散化に適用する反復ソルバー用に、マルチスケールモルタル空間を粗スケールとして用いた2段階の加法的およびハイブリッドプリコンディショナを設計する。
• ブロックヤコビスムージングとマルチスケール粗スケール補正を組み合わせた2段階プリコンディショニングフレームワークにモルタル空間を統合する。
• モルタル空間上にラグランジュ乗数を強制することで、全域のフラックス連続性を確保し、サブドメイン間の弱い結合を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高対比な不均一媒体において、ロバスト性を保証する体系的なマルチスケールモルタル空間の構築は可能か？
• RQ2 多様な対比にわたる収束のロバスト性という観点から、マルチスケール基底関数と多項式基底関数の性能はどのように異なるか？
• RQ3 局所プリコンディショナの定義域の選択が、提案されたモルタル空間を用いた反復ソルバーの収束にどの程度影響を与えるか？
• RQ4 拡張モルタル空間は、ドメインサイズや対比レベルの変化に対しても、効率性と正確性を維持できるか？

主な発見

• マルチスケール基底関数を用いた場合、特に高対比下で、多項式基底関数に比べてPCG反復回数が著しく減少する。例えば、対比$10^6$下でも反復回数は17未満に保たれるが、多項式基底では13から39に増加する。
• 反復回数という観点では、ハイブリッドプリコンディショナが加法的プリコンディショナを上回るが、1反復あたり粗スケールプリコンディショナを2回適用する必要がある。
• 局所プリコンディショナをサブドメイン（2〜4）に制限することで、ドメイン1と比較してGMRES(2)反復回数が約半減し、局所的条件数の改善が示された。
• すべてのドメインタイプおよびプリコンディショナ変種において、反復回数が対比にほとんど依存しないことが確認され、提案手法のロバスト性が裏付けられた。
• ランダム化スナップショット（ケース4）は決定的スナップショット（ケース3）に比べてわずかに高い反復回数を示すが、依然としてロバスト性と効率性を維持している。
• 本手法は対比に依存しない収束性を達成しており、$10^2$、$10^4$、$10^6$の対比レベルにおいて反復回数が安定していることから、そのロバスト性が検証された。