[論文レビュー] An entropic interpolation problem for incompressible viscid fluids

Marc Arnaudon, Ana Bela Cruzeiro+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、初期および最終周辺分布が固定されたブラウン運動経路上の確率測度のエントロピー最小化として定式化される、非圧縮性粘性流体の確率的変分問題を導入する。この問題とナビエ＝ストークス方程式との間に双対性を確立し、圧力関数に正則性仮定を課すと、解の運動学的性質が粘性流体力学と一致することを示す。

ABSTRACT

In view of studying incompressible inviscid fluids, Brenier introduced in the late 80's a relaxation of a geodesic problem addressed by Arnold in 1966. Instead of inviscid fluids, the present paper is devoted to incompressible viscid fluids. A natural analogue of Brenier's problem is introduced, where generalized flows are no more supported by absolutely continuous paths, but by Brownian sample paths. It turns out that this new variational problem is an entropy minimization problem with marginal constraints entering the class of convex minimization problems. This paper explores the connection between this variational problem and Brenier's original problem. Its dual problem is derived and the general shape of its solution is described. Under the restrictive assumption that the pressure is a nice function, the kinematics of its solution is made explicit and its connection with the Navier-Stokes equation is established.

研究の動機と目的

• 決定的経路を確率的ブラウン運動に置き換えることで、ブレニエのアーノルドの測地的問題に対するエントロピー的緩和を、非圧縮性粘性流体へと拡張すること。
• 非圧縮性および周辺分布制約の下で、ウィENER測度に関する相対エントロピーを最小化する変分問題を定式化すること。
• 双対問題を導出し、非圧縮性制約の自然なラグランジュ乗数として圧力場を同定すること。
• 圧力に正則性仮定を課した下で、エントロピー問題の解とナビエ＝ストークス方程式との間の関係を確立すること。
• エントロピー基準とコンパクト性の議論を用いて、トーラス $\mathbb{T}^n$ 上での解の存在を証明すること。

提案手法

• 経路空間 $\Omega = C([0,1], \mathcal{X})$ 上の確率測度における相対エントロピーの凸最小化として、ブレディンガーの問題を定式化する。
• 標準過程 $X_t(\omega) = \omega_t$ を用いて周辺分布を定義し、均一な時刻周辺分布制約によって非圧縮性を強制する。
• 凸双対性を適用し、双対問題を導出し、非圧縮性制約のラグランジュ乗数として圧力場が出現することを示す。
• 解のウィナー測度に対するラドン＝ニコディム密度を、一般形で特徴づける。これはマルコフ過程であるとは限らない。
• 圧力関数が滑らかであると仮定し、ストラスリッヒ方程式と関連する確率的微分方程式を用いて、解の運動学的性質を明示的に記述する。
• カミン＝マーティン＝ギルサノフの公式と経路ごとのエントロピー分解を用いて $H(Q|R)$ を分析し、コンパクト性およびエントロピー項の連続性を用いて $\mathbb{T}^n$ 上での存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動を用いることで、測地的運動のブレニエのエントロピー的緩和を非圧縮性粘性流体へ拡張できるか？
• RQ2 エントロピー最小化定式化の双対問題は何か？また、圧力場はどのようにラグランジュ乗数として出現するか？
• RQ3 エントロピー問題の解が、ナビエ＝ストークス方程式を満たす確率過程であるための条件は何か？
• RQ4 圧力関数が滑らかであるとき、解の運動学的性質をどのように明示的に記述できるか？
• RQ5 トーラス $\mathbb{T}^n$ 上でエントロピー問題の解が存在するための条件は何か？

主な発見

• 非圧縮性粘性流体のエントロピー補間問題は、周辺分布および非圧縮性制約の下でウィナー測度に関する相対エントロピーの凸最小化として定式化される。
• 双対問題が導かれ、圧力場は非圧縮性制約を強制するラグランジュ乗数として同定され、ブレニエの枠組みと整合的である。
• ブレディンガー問題の解は逆形であるが、必ずしもマルコフ的ではない。そのウィナー測度に対するラドン＝ニコディム密度は一般形で特徴づけられる。
• 圧力関数が滑らかであると仮定すると、解の運動学的性質はナビエ＝ストークス方程式と関連する確率的微分方程式により明示的に記述できる。
• トーラス $\mathbb{T}^n$ 上では、ブレディンガー問題の解が存在するための必要十分条件は、相対エントロピー $H(\pi|R_{01})$ が有限であること、かつすべての $x,y \in \mathbb{T}^n$ に対して $H(\mathrm{vol}|R^{xy}_{1/2})$ が一様に有界であることである。
• エントロピー分解と密度比 $dR^{xy}_{1/2}/d\mathrm{vol}$ のコンパクトトーラス上での連続性を用いて、$H(Q|R)$ の有限性が確立され、提示されたエントロピー条件のもとで解の存在が保証される。