[論文レビュー] An Entropic Uncertainty Principle for Quantum Measurements

M. Krishna, K. R. Parthasarathy|ArXiv.org|Oct 4, 2001

Quantum Information and Cryptography参考文献 5被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、リーマン＝スティルチェス積分を用いたRiesz-Thorin補間とNaimarkの定理を用いて、射影的可観測量に限らない任意の量子測定に対するエントロピー不確定性原理の一般化を実現する。主な結果として、非退化な可観測量の場合にMaassen-Uffinkの境界に還元される、非自明な不確定性下界を提供する。

ABSTRACT

The entropic uncertainty principle as outlined by Maassen and Uffink for a pair of non-degenerate observables in a finite level qusystem is generalized here to the case of a pair of arbitrary quantum measurements. In particular, our result includes not only the case of projectivmeasurements (or equivalently, observables) exhibiting degeneracy but also an uncertainty principle for a single measurement.

研究の動機と目的

• 有限次元系における非非退化可観測量に限らない一般の量子測定へ、エントロピー不確定性原理を拡張すること。
• 二つの任意の量子測定のシャノンエントロピー和に対する鋭い下界を確立すること。
• 単一測定の場合を含め、1つの測定に対しても非自明な不確定性が成立することを示すこと。
• 測定が非退化な射影的可観測量である場合に、Maassen-Uffinkの境界が特殊ケースとして回復されること。

提案手法

• 測定の重なりを表す行列の作用素ノルムを抑え込むために、Riesz-Thorin補間定理を用いる。
• 一般の正値作用素測度（POVM）を、より大きなヒルベルト空間上の射影的測定に拡張するために、Naimarkの拡張定理を適用する。
• 測定の重なりを、$ \phi_i $, $ \psi_j $ を測定結果に対応する正規化された状態として、$ t_{ij} = \langle \phi_i | \psi_j \rangle $ で定義する。
• $ L^2 $ と $ L^1/L^\infty $ ノルムの間の補間を用いて、エントロピー和の下界を導出する。
• $ \|T\|_{p_t,q_t} \leq R^t $ というノルム不等式に問題を変換し、$ R = \max |t_{ij}| $ とし、不確定性下界を得る。
• 密度作用素にこの境界を適用し、エントロピーの凹性を用いて混合状態へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エントロピー不確定性原理は、非非退化な射影的測定に限らず、任意の量子測定へ一般化可能か？
• RQ2 二つの一般量子測定のシャノンエントロピー和に対する、最も鋭い下界は何か？
• RQ3 単一測定に対しても、非自明な不確定性原理が成立するか？
• RQ4 非非退化可観測量の場合に、一般化された境界がどのようにMaassen-Uffinkの結果に還元されるか？

主な発見

• 本稿は、エントロピー和の下界を確立する：$ H(\mathbf{X},\psi) + H(\mathbf{Y},\psi) \geq -2 \log_2 \left( \max_{i,j} \frac{|\langle \psi | X_i Y_j | \psi \rangle|}{\|X_i^{1/2}\psi\| \|Y_j^{1/2}\psi\|} \right) $。
• 両方の測定が非非退化な射影的可観測量である場合、この境界はMaassen-Uffinkの結果に還元される。
• 単一測定の場合、境界は$ H(\mathbf{X},\rho) \geq -\log_2 \left( \max_{i,j} \|X_i^{1/2} X_j^{1/2}\| \right) $ を与え、これは非ゼロかつ非自明である。
• 有限群 $ G $ の場合、境界は$ H(\psi) + H(\widehat{\psi}) \geq \log_2 N - \log_2 \left( \max_{\pi} d(\pi) \right) $ に簡略化され、$ \psi $ が一様分布のとき等号が成り立つ。
• アーベル群の場合、境界はタイトであり、$ \max d(\pi) = 1 $ であるため、下界は$ \log_2 N $ となり、一様状態で達成される。