[論文レビュー] An entropy-stable and fully well-balanced scheme for the Euler equations with gravity

Christophe Berthon, Victor Michel-Dansac+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2024

Navier-Stokes equation solutions被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、重力を伴うEuler方程式に対して、完全に整合的で、エントロピー安定かつ正性を保証する、新しいゴドノフ型有限体積スキームを提案する。HLLでは、積分的一致性とエントロピー安定性に基づく源項処理を拡張することで、機械精度までにすべての運動および静止する断熱的平衡状態を正確に保存する。同時に離散的エントロピー不等式を満たし、密度および圧力の正性を維持する。

ABSTRACT

The present work concerns the derivation of a numerical scheme to approximate weak solutions of the Euler equations with a gravitational source term. The designed scheme is proved to be fully well-balanced since it is able to exactly preserve all moving equilibrium solutions, as well as the corresponding steady solutions at rest obtained when the velocity vanishes. Moreover, the proposed scheme is entropy-preserving since it satisfies all fully discrete entropy inequalities. In addition, in order to satisfy the required admissibility of the approximate solutions, the positivity of both approximate density and pressure is established. Several numerical experiments attest the relevance of the developed numerical method. An extension to two-dimensional problems is given, applying the one-dimensional framework direction by direction on Cartesian grids.

研究の動機と目的

• 重力付きEuler方程式の、運動および静止を含むすべての断熱的平衡解を正確に保存する数値スキームの開発。
• 離散的エントロピー不等式を満たすことで、弱解の物理的妥当性を保証すること。
• すべての離散解において密度および圧力の厳密な正性を維持すること。これはロバスト性の基本的要件である。
• 1次スキームを高次精度に拡張しつつ、完全に整合的性質を保持すること。
• 重力が1方向に作用する2次元の複雑な定常状態および動的流れを、本手法が的確に捉える能力を示すこと。

提案手法

• 源項に対してHarten, Lax, van Leer（HLL）の積分的一致性条件を満たす2つの中間状態を持つ近似リーマンソルバの設計。
• 源項の離散化を組み込むことで、非自明な運動的平衡を含むすべての定常解に対して、正確に整合的になるようにする。
• エントロピーの積分的一致性条件を強制することで、離散的エントロピー不等式の満たし方を保証し、HLLエントロピーの減少原理を活用する。
• 修正されたリーマンソルバに基づくゴドノフ型有限体積スキームを構築し、一貫性、正性、およびエントロピー安定性を保証する。
• MUSCL型の高次再構成技術を適用して、1次スキームを高次精度にアップグレードしつつ、完全に整合的性質を維持する。
• 1次元フレームワークを次元分割を用いて2次元に拡張し、Cartesianグリッド上で各方向に順次整合性処理を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重力付きEuler方程式の、運動および静止を含むすべての断熱的平衡解を正確に保存する数値スキームを構築可能か？
• RQ2 重力源項が存在する中で、一貫性および正性を保ちつつ、離散的エントロピー安定性をどのように強制できるか？
• RQ3 重力下で、完全に整合的かつエントロピー安定性を達成するために、HLLリーマンソルバにどのような修正が必要か？
• RQ4 1次スキームを高次精度に拡張する際、完全に整合的性質を失うことなく、どの程度まで拡張可能か？
• RQ5 重力が1次元方向にのみ作用する2次元定常状態を、本スキームが的確に捉えることができるか？

主な発見

• 提案スキームは、1次元および2次元の数値実験により、機械精度までにすべての断熱的平衡解（運動および静止を含む）を正確に保存することが確認された。
• 源項処理を修正したHLLベースのリーマンソルバは、エントロピーの減少原理を満たし、離散的エントロピー不等式の満たし方を証明可能である。
• 2次元の運動的平衡状態テストでは、整合的スキームが密度および圧力に関して相対L2誤差10−16未満を達成したが、非整合的HLLスキームでは10−3〜10−2オーダーの誤差が生じた。
• 2次元運動的平衡状態の摂動実験では、不自然な波やアーチファクトが発生せず、微小な摂動に対しても平衡状態を維持できることを確認した。
• ガウス型重力ポテンシャルを用いた衝撃収縮テストでは、径方向の圧縮および衝撃形成を的確に捉え、物理的でない振動は一切発生しなかった。
• すべてのシミュレーションにおいて密度および圧力の正性が維持されており、すべてのテストケースでエントロピー不等式が満たされている。