[論文レビュー] An Enumerative Function

Milan Janjić|ArXiv.org|Jan 13, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、二項係数、階乗、上昇・下降階乗の一般化として、$n+k$-インセット（$n$ 個のサイズ $p_1,\dots,p_n$ のメインブロックと追加の $m$-ブロックからなる集合の、すべての $n$ 個のメインブロックと交差する部分集合）を数える関数 $F(n,k,P,m)$ を導入する。主な貢献は、ヴァンデルモンドの畳み込みを拡張する統一的な組合せ的枠組みを提供し、再帰関係を通じてチェビシェフ多項式を純粋に組合せ的に定義することにある。

ABSTRACT

We define an enumerative function F(n,k,P,m) which is a generalization of binomial coefficients. Special cases of this function are also power function, factorials, rising factorials and falling factorials. The first section of the paper is an introduction. In the second section we derive an explicit formula for F. From the expression for the power function we obtain a number theory result. Then we derive a formula which shows that the case of arbitrary m may be reduced to the case m=0. This formula extends Vandermonde convolution. In the second section we describe F by the series of recurrence relations with respect to each of arguments k, n, and P. As a special case of the first recurrence relation we state a binomial identity. As a consequence of the second recurrence relation we obtain relation for coefficients of Chebyshev polynomial of both kind. This means that these polynomials might be defined in pure combinatorial way.

研究の動機と目的

• 二項係数、階乗、上昇・下降階乗を統一する一般化された数え上げ関数 $F(n,k,P,m)$ を定義すること。
• 包含除算法（PIE）を用いて $F(n,k,P,m)$ の明示的公式を導出し、二項係数の交 alternating 和 として表現すること。
• 任意の $m$ の一般ケースが $m=0$ のケースに還元されることを証明し、ヴァンデルモンドの畳み込みを拡張すること。
• $n$、$k$、$P$ に関する $F(n,k,P,m)$ の再帰関係を確立し、チェビシェフ多項式との関係を明らかにすること。
• 第一種および第二種のチェビシェフ多項式が、$F(n,k,P,m)$ の係数を用いて純粋に組合せ的に定義可能であることを示すこと。

提案手法

• 包含除算法（PIE）を用いた明示的公式の導出：$F(n,k,P,m) = \sum_{I \subseteq [n]} (-1)^{|I|} \binom{N - \sum_{i \in I} p_i}{n+k}$、ここで $N = \sum p_i + m$。
• 還元公式の導出：$F(n,k,P,m) = \sum_{i=0}^{\min(m,k)} \binom{m}{i} F(n,k-i,P,0)$、$m > 0$ が $m = 0$ に還元されることを示す。
• 再帰関係の確立：各 $j \in [n]$ に対して、$F(n,k,P,m) = \sum_{i=1}^{p_j} \binom{p_j}{i} F(n-1,k-i+1,P\setminus\{p_j\},m)$、ブロック数に関する再帰関係。
• すべての $p_i = 2$ の場合、再帰 $c(n,k,m) = 2c(n-1,k,m) + c(n-1,k-1,m)$ がチェビシェフ多項式の係数の再帰と一致することの証明。
• 変数変換 $a(r,s) = (-1)^k c(n,k,m)$ を用いて $F$-係数をチェビシェフ係数にマッピングし、標準的な再帰 $a(r,s) = 2a(r-1,s-1) - a(r-2,s)$ を満たすことを示す。
• 一般変換公式の導出：$F(n,k,P,m) = F(n-r,k,Q,m) + \sum_{i=1}^{|I_0|} \sum_{j=0}^i \binom{n}{i} \binom{i}{j} F(n-j,k-i+j,Q,m)$、ここで $Q$ は $i \in I_0$ のインデックスのブロックサイズを調整する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一の数え上げ関数が二項係数、階乗、上昇・下降階乗を一般化可能か？
• RQ2 関数 $F(n,k,P,m)$ は包含除算法を用いて閉形式で表現可能か？
• RQ3 $m > 0$ の場合が $m = 0$ の場合に還元可能か？ これはヴァンデルモンドの畳み込みを一般化するか？
• RQ4 $n$、$k$、$P$ に関する $F(n,k,P,m)$ の再帰関係が既知の組合せ的数列を導くか？
• RQ5 第一種および第二種のチェビシェフ多項式が、$F(n,k,P,m)$ の係数を用いて純粋に組合せ的に定義可能か？

主な発見

• 明示的公式 $F(n,k,P,m) = \sum_{I \subseteq [n]} (-1)^{|I|} \binom{N - \sum_{i \in I} p_i}{n+k}$ は二項係数を一般化し、$p^n = \sum_{i=0}^n (-1)^i \binom{n}{i} \binom{pn + m - pi}{n}$ のような恒等式を導く。
• 素数 $q$ に対して、整数 $r > 1$、$m \geq 0$ に対して $q \mid r^q - \binom{rq + m}{q} + \binom{m}{q}$ が成り立つ。これは $p^n$ 恒等式から導出される。
• 還元公式 $F(n,k,P,m) = \sum_{i=0}^{\min(m,k)} \binom{m}{i} F(n,k-i,P,0)$ は $n=1$ の場合にヴァンデルモンドの畳み込みを一般化し、$\binom{p+m}{k+1} = \sum_{i=0}^{\min(m,k+1)} \binom{m}{i} \binom{p}{k-i+1}$ を回復する。
• すべての $p_i = 2$ の場合、再帰 $c(n,k,m) = 2c(n-1,k,m) + c(n-1,k-1,m)$ はチェビシェフ多項式の係数の再帰と一致する。
• 係数 $(-1)^k F(n,k,P,m)$（$p_i = 2$ 時）は標準的なチェビシェフ再帰 $a(r,s) = 2a(r-1,s-1) - a(r-2,s)$ を満たし、第一種および第二種のチェビシェフ多項式の純粋な組合せ的定義を証明する。
• 一般変換公式により、$F(n,k,P,m)$ が $F(n-j,k-i+j,Q,m)$ の形で表現可能であり、$Q$ がインデックスの部分集合に対してブロックサイズを縮小することで再帰的計算が可能になる。