[論文レビュー] An equidistribution theorem for holomorphic Siegel modular forms for $GSp_4$

Henry H. Kim, Satoshi Wakatsuki+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、アーチャーの不変トレース公式を用い、正則的離散的系列の擬係数を用いて、$GSp_4/\mathbb{Q}$ 上の正則的ヒルベルト・シーゲル・カスプ形式の2次元について、等分布定理を確立する。非単純的寄与から新たな2次主項 $A$, $B_1$ が現れ、単純的要素から奇妙な $B_2$ が現れる。これにより、垂直的サトーサトーやヘッケ体の非有界性、$L$-関数の低く滑らかな零点への応用が可能になる。

ABSTRACT

We prove an equidistribution theorem for a family of holomorphic Siegel cusp forms for $GSp_4/\mathbb{Q}$ in various aspects. A main tool is Arthur's invariant trace formula. While Shin and Shin-Templier used Euler-Poincaré functions at infinity in the formula, we use a pseudo-coefficient of a holomorphic discrete series to extract holomorphic Siegel cusp forms. Then the non-semisimple contributions arise from the geometric side, and this provides new second main terms $A, B_1$ in the main theorem which have not been studied and a mysterious second term $B_2$ also appears in the second main term coming from the semisimple elements. Furthermore our explicit study enables us to treat more general aspects in the weight. We also give several applications including the vertical Sato-Tate theorem, the unboundedness of Hecke fields and low-lying zeros for degree 4 spinor $L$-functions and degree 5 standard $L$-functions of holomorphic Siegel cusp forms.

研究の動機と目的

• $GSp_4/\mathbb{Q}$ 上の2次正則的シーゲル・カスプ形式のレベルおよび重みの両側面における等分布定理を確立すること。
• 従来の研究の限界を克服し、エーラー・ポワンカーレ関数の使用により無視されていた非単純的寄与をトレース公式に組み込むこと。
• ラングランズの関手性やその他の予想に依存しない、条件なしの結果を得ること。
• 幾何側寄与から生じる新たな2次主項 $A$, $B_1$, および奇妙な $B_2$ を特定・分析すること。
• 等分布結果を応用し、垂直的サトーサトーやヘッケ体の非有界性、スピンオーラおよび標準 $L$-関数の低く滑らかな零点を証明すること。

提案手法

• 正則的離散的系列の擬係数を用いたアーチャーの不変トレース公式を用い、スペクトル側で正則的シーゲル・カスプ形式を分離する。
• スペクトル分解と自動形式的数え上げ測度を用い、トレース公式をヘッケ固有値分布に関連付ける。
• 幾何側寄与を明示的に計算し、$I_2(f)$ および $I_3(f)$ を用いて非単純的項を扱い、$I_5(f)$ を高次項として推定する。
• エンデスコピック、CAP、残留スペクトルの寄与を区別し、それらが誤差項に含まれることを示す。
• 軌道積分およびグローバル係数 $a^G(S,\gamma)$ に対する一様推定を用い、幾何側を制御する。
• $GSp_4(\mathbb{Q}_p)$ の球的一般的ユニタリ表現の分類を用い、$|b_F(p^l)|$ を有界化し、$L$-関数級数の収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則的シーゲル・カスプ形式のヘッケ固有値の等分布における2次主項の構造は何か？
• RQ2 トレース公式における非単純的寄与が、スペクトル数え上げ測度およびそれによる等分布に与える影響は何か？
• RQ3 単純的要素から生じる奇妙な2次主項 $B_2$ の起源と意味は何か？
• RQ4 トレース公式の技法を用いて、正則的シーゲル・カスプ形式に対する垂直的サトーサトーサイエンスを確立できるか？
• RQ5 4次スピンオーラおよび5次標準 $L$-関数の低く滑らかな零点に対する等分布結果の意味は何か？

主な発見

• レベル側面および重み側面の両方で等分布定理が確立され、非単純的寄与から2次主項 $A$ および $B_1$ が現れる。
• 単純的要素から生じる新たな2次主項 $B_2$ が現れ、その表現論的起源はまだ不明であり、さらなる研究を要する。
• 誤差項はレベル側面で $O(p^{a\kappa+b}_{S'}\varphi(N)N^{-3})$、重み側面で $O\left(\frac{p^{a'\kappa+b'}}{(k_1-k_2+1)(k_1-1)(k_2-2)}\right)$ で有界である。
• CAP および残留スペクトルからの残差は誤差項に吸収され、主項が正則的離散的系列寄与によって支配されることを確認した。
• 垂直的サトーサトーサイエンスが証明され、重み側面で正規化されたヘッケ固有値の等分布が示された。
• ヘッケ体の非有界性および4次スピンオーラおよび5次標準 $L$-関数の低く滑らかな零点が、応用として確立された。