[論文レビュー] An Equivalent Presentation of the Bezem-Coquand-Huber Category of Cubical Sets

Andrew M. Pitts|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ホモトピー型理論で用いられる立方体集合の圏と、01置換操作を備えた名前集合の圏との間の同値性を確立する。立方体集合を置換構造を有する名前集合の観点から再定式化することにより、構成的型理論のユニバーサルモデルをより洗練され、計算的に取り扱いやすい枠組みで構築できるようになる。

ABSTRACT

Staton has shown that there is an equivalence between the category of presheaves on (the opposite of) finite sets and partial bijections and the category of nominal restriction sets: see [2, Exercise 9.7]. The aim here is to see that this extends to an equivalence between the category of cubical sets introduced in [1] and a category of nominal sets equipped with a "01-substitution" operation. It seems to me that presenting the topos in question equivalently as 01-substitution sets rather than cubical sets will make it easier (and more elegant) to carry out the constructions and calculations needed to build the intended univalent model of intentional constructive type theory.

研究の動機と目的

• 立方体集合のBezem-Coquand-Huber圏の同値な圏論的表現を提供すること。
• 立方体集合を01置換操作を有する名前集合に基づく構造に置き換えることにより、ユニバーサル型理論における構成を簡略化すること。
• 有限集合と部分双対写像の上の関手と名前制限集合の間の同値性を立方体的設定へ一般化すること。
• 01置換集合の代数的および名前理論的性質を活用して、ユニバーサルモデルの開発を容易にすること。
• 名前抽象化と置換を用いて、カーン-ファイブレーションおよびフィリング操作を再定式化し、明確性と計算可能性を向上させること。

提案手法

• 01置換操作を満たす名前集合の圏 $\mathbf{01Sub}$ を導入し、その操作が新鮮性、可換性、-equivarianceの公理を満たすことを保証する。
• 名前抽象化および置換作用と整合性を持つように、写像 $s: X \times \mathbb{A} \times 2 \to X$ を用いて01置換操作を定義する。
• 単射関数からなる完全部分圏 $\mathbf{I} \subset \mathbf{C}$ 沿いの制限を用いて、$[\mathbf{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set}]$（立方体集合）と $\mathbf{01Sub}$ の間の圏同値を確立する。
• 名前抽象化 $[\mathbb{A}]X$ を用いて01置換操作を高次元の立方体へ持ち上げ、$\Box_n X$ を互いに整合性を持つ置換を備えた $n$ 重の名前抽象化として定義する。
• スプリット射 $i_n: \sqcup_n X \to \Box_{n+1}X$ および $j_n: \sqcap_n X \to \Box_{n+1}X$ を用いて、一様カーンファイブレーションを再定式化し、フィリング操作が一様に定義可能であることを保証する。
• 1-開および0-開のボックスに対して、それぞれ $\uparrow u$ および $\downarrow u$ のような、-equivariant かつ置換と可換なフィリング操作を用いてファイブレーションを特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方体集合の圏は、01置換操作を備えた名前集合を用いて同値に表現可能か？
• RQ2 01置換構造は型理論におけるユニバーサルモデルの構成をどのように簡略化するか？
• RQ3 名前抽象化と退化は、名前フレームワーク内での高次元立方体のモデル化において果たす役割は何か？
• RQ4 一様カーンファイブレーションは、$\mathbf{01Sub}$ 圏におけるスプリット射を用いて特徴付け可能か？
• RQ5 -equivariance および置換整合性は、ファイブレーションのフィリング操作の整合性をどのように保証するか？

主な発見

• 立方体集合の圏は、01置換操作を備えた名前集合の圏 $\mathbf{01Sub}$ と圏同値である。
• 01置換操作は名前抽象化へ持ち上げられ、$\Box_n X$ を用いた互いに整合性を持つ置換を介した $n$ 次元立方体の再帰的構成が可能になる。
• 一様カーンファイブレーションは、射 $p_n: \Box_{n+1}X \to \sqcup_n X$ および $q_n: \Box_{n+1}X \to \sqcap_n X$ のスプリット性によって特徴付けられ、一様なフィリングが保証される。
• $\uparrow u$ および $\downarrow u$ のフィリング操作は、ボックスおよびその基底に対して新鮮な名前に関して-equivariant かつ置換と可換である。
• 同値性により、立方体集合を $\mathbf{01Sub}$ に置き換えることができ、ユニバーサル型理論におけるより洗練され、計算的に透明な構成が可能になる。
• 名前抽象化と置換を用いた名前理論的定式化は、元の立方体集合モデルに比べ、より洗練された代数的基盤を提供する。