[論文レビュー] An equivariant Atiyah-Patodi-Singer index theorem for proper actions

Peter Hochs, Bai‐Ling Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2019

Advanced Operator Algebra Research被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、商空間がコンパクトである境界付きリーマン多様体上の、ユニモジュラーで局所コンパクトな群の固有かつ等長的作用に対して、等長的アティヤ＝パトディ＝サージェント指数定理を確立する。共役類上での軌道積分を用いたトレースを導入することで、指数が縮小群C*-代数のK理論に属することを証明し、バウム＝コンヌ写像および古典的APS指数定理を一般化する。恒等元、多項式成長を示す共役類をもつ有限生成離散群、および半単純な要素をもつ半単純リー群の各場合に、定理の有効性が確認されている。

ABSTRACT

Consider a proper, isometric action by a unimodular locally compact group $G$ on a Riemannian manifold $M$ with boundary, such that $M/G$ is compact. Then an equivariant Dirac type operator on $M$ under a suitable boundary condition has an equivariant index in the $K$-theory of the reduced group $C^*$-algebra $C^*_rG$ of $G$, which is a common generalisation of the Baum-Connes analytic assembly map and the (equivariant) Atiyah-Patodi-Singer index. Using a trace on a suitable subalgebra of $C^*_rG$, defined by the orbital integral over the conjugacy class of an element $g \in G$, we prove an equivariant Atiyah-Patodi-Singer index theorem in this setting. We first state general analytic conditions under which this theorem holds, and then show that these conditions are satisfied if $g=e$ is the identity element; if $G$ is a finitely generated, discrete group, and the conjugacy class of $g$ has polynomial growth; and if $G$ is a connected, linear, real semisimple Lie group, and $g$ is a semisimple element. In the classical case, where $M$ is compact and $G$ is trivial, our arguments reduce to a relatively short and simple proof of the original Atiyah-Patodi-Singer index theorem.

研究の動機と目的

• 境界付き多様体上の固有かつ等長的群作用の設定に、アティヤ＝パトディ＝サージェント指数定理を一般化すること。
• 適切な境界条件の下で、ディラック型作用素に対して、縮小群C*-代数 $ C^*_rG $ のK理論における等長的指数を定義すること。
• 群元の共役類上での軌道積分によって定義されるトレースを用いて、指数定理を確立すること。
• 特定のケース（恒等元、多項式成長を示す共役類をもつ離散群、および連結な実半単純リー群の半単純要素）における、定理に必要な解析的条件を検証すること。
• 群 $ G $ が自明で、多様体 $ M $ がコンパクトである場合に、古典的アティヤ＝パトディ＝サージェント定理が特殊ケースとして回復されること。

提案手法

• 本論文は、境界付き多様体上のディラック型作用素に対して、適切な境界条件の下で $ K_0(C^*_rG) $ に等長的指数を構成する。
• 群元 $ g \in G $ の共役類上での積分を用いて、$ C^*_rG $ の部分代数上に定義されるトレース（軌道積分）を導入する。
• 一般的な解析的条件下で指数定理を導出し、その後、三つの特定のケース（$ g = e $、多項式成長を示す共役類をもつ離散群、連結な実半単純リー群の半単純要素）においてその条件を検証する。
• 証明は、縮小群C*-代数の構造とトレースの性質に依存し、指数を群元の軌道積分に関連付ける。
• この枠組みにより、バウム＝コンヌの解析的アセンブリーマップと古典的等長的APS指数定理が、一つの指数論的枠組み内で統合される。
• 古典的状況（$ G $ が自明で、$ M $ がコンパクト）では、この方法は元のアティヤ＝パトディ＝サージェント定理の簡潔な証明に還元される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 商空間がコンパクトである境界付き多様体上の固有かつ等長的群作用に対して、アティヤ＝パトディ＝サージェント指数定理をどのように拡張できるか？
• RQ2 共役類上での軌道積分が、等長的指数定理を可能にするトレースを定義する際に果たす役割は何か？
• RQ3 群 $ G $ と元 $ g \in G $ に対して、指数定理に必要な解析的条件が成立するための条件は何か？
• RQ4 提案された枠組みが、バウム＝コンヌのアセンブリーマップと古典的APS指数定理をどのように統合するか？
• RQ5 古典的アティヤ＝パトディ＝サージェント定理が、この一般化された指数定理の特殊ケースとして回復可能か？

主な発見

• 境界付き多様体上のディラック型作用素の等長的指数は、商空間がコンパクトである固有かつ等長的群作用の下で、縮小群 $ C^* $-代数 $ C^*_rG $ のK理論に属する。
• 群元 $ g \in G $ の共役類上での軌道積分によって定義されるトレースを用いて、指数定理が確立される。これはユニモジュラーで局所コンパクトな群に対して適切に定義される。
• 解析的条件は、$ g = e $（恒等元）のとき満たされる。
• 有限生成離散群では、$ g $ の共役類が多項式成長を示す場合に条件が満たされる。
• 連結で線形な実半単純リー群では、$ g $ が半単純要素である場合に条件が満たされる。
• 古典的状況（$ G $ が自明で、$ M $ がコンパクト）では、この方法により元のアティヤ＝パトディ＝サージェント指数定理の簡潔な証明が得られる。