[論文レビュー] An Equivariant Brauer Group and Actions of Groups on C*-algebras

D. Crocker, Alex Kumjian+2 more|ArXiv.org|Dec 12, 1994

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、第二可算な局所コンパクト群 G が局所コンパクト空間 T に作用する場合の、G-不変ブラウアー群 BrG(T) を定義し、スペクトルが T である分離的連続トレース C*-代数上の G-作用のモリタ同値類を分類する。モア・コホモロジーと層コホモロジーを用いて、群コホモロジーおよび整数コホモロジーの観点から BrG(T) のフィルトレーションを確立し、G = R の場合、任意の安定な連続トレース C*-代数が与えられた T 上の作用を被覆する（外部同値を除いて一意な）作用を有することを示した。これは、Raeburn と Rosenberg の先行結果を顕著に拡張するものである。

ABSTRACT

Suppose that $(G,T)$ is a second countable locally compact transformation group given by a homomorphism $\ell:G o\Homeo(T)$, and that $A$ is a separable continuous-trace \cs-algebra with spectrum $T$. An action $α:G o\Aut(A)$ is said to cover $\ell$ if the induced action of $G$ on $T$ coincides with the original one. We prove that the set $\brgt$ of Morita equivalence classes of such systems forms a group with multiplication given by the balanced tensor product: $[A,α][B,β] = [A\Ttensor B,α ensorβ]$, and we refer to $\brgt$ as the Equivariant Brauer Group. We give a detailed analysis of the structure of $\brgt$ in terms of the Moore cohomology of the group $G$ and the integral cohomology of the space $T$. Using this, we can characterize the stable continuous-trace \cs-algebras with spectrum $T$ which admit actions covering $\ell$. In particular, we prove that if $G=\R$, then every stable continuous-trace \cs-algebra admits an (essentially unique) action covering~$\ell$, thereby substantially improving results of Raeburn and Rosenberg. Versions of this paper in *.dvi and *.ps form are available via World wide web servers at http://coos.dartmouth.edu/~dana/dana.html

研究の動機と目的

• スペクトルが T である連続トレース C*-代数上の G-作用のモリタ同値類としての不変ブラウアー群 BrG(T) を定義し、その特徴づけを行う。
• モア・コホモロジーと層コホモロジー群を用いて、BrG(T) の構造的フィルトレーションを確立する。
• 与えられた T 上の作用を被覆する G-作用の存在および一意性を特定する。特に G = R の場合を対象とする。
• スペクトル系列によるフィルトレーションを通じて、Dixmier-Douady 同型を不変設定に一般化する。

提案手法

• スペクトルが T である連続トレース C*-代数 A 上の G-作用 α に対するモリタ同値類 [A, α] の集合として BrG(T) を定義し、C0(T) 上のバランスドテンソル積を用いた乗法を導入する。
• グロテンディークの不変コホモロジー H2(T, G; S) のスペクトル系列を用いて BrG(T) の構造を分析し、低次元コホモロジー群を通じたフィルトレーションを実行する。
• 局所コンパクト群に対するモア・コホモロジーを用い、H2(G, C(T, T)) および H3(G, C(T, T)) をユニタリコサイクルによる作用の実装およびねじれ作用の障害として解釈する。
• コンベス–カーチョ–ミューリー–ウィリアムズの定理を適用し、交叉積が逆写像を誘導することを示し、自由かつ固有作用の場合に同型が成立することを証明する。
• ギジン系列および層コホモロジーを用いて、N-固有系の場合に BrG(T) を H2_G(T, S) と関連付ける。
• G = R の場合、スペクトル系列において d2 = 0 および d3 = 0 を示すことにより、写像 F: BrG(T) → H3(T; Z) が全射であることを証明し、作用の存在および一意性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定な連続トレース C*-代数（スペクトルが T）が、T 上の G-作用を被覆する G-作用を有するための条件は何か？
• RQ2 モア・コホモロジーや層コホモロジーを用いて、不変ブラウアー群 BrG(T) をどのようにコホモロジー的成分に分解できるか？
• RQ3 H2(G, C(T, T)) および H3(G, C(T, T)) は、連続トレース C*-代数上の作用を分類するために果たす役割は何か？
• RQ4 なぜ G = R の場合、このような作用の存在および一意性が保証されるのか？
• RQ5 局所コンパクト設定において、不変ブラウアー群はグロテンディークの不変コホモロジー H2(T, G; S) とどのように関係しているか？

主な発見

• G = R の場合、スペクトルが T である任意の安定な連続トレース C*-代数は、T 上の与えられた作用を被覆する G-作用を有し、外部同値を除いて一意である。
• 不変ブラウアー群 BrG(T) は、{0} ≤ B1 ≤ B2 ≤ B3 = BrG(T) という合成系列を有し、B3/B2 は H3(T; Z) の部分群に同型であり、B2/B1 は H1(G, H2(T; Z)) の部分群に同型であり、B1 は H2(G, C(T, T)) の商に同型である。
• BrG(T) を計算するためのスペクトル系列は、G = R の場合、d2 = 0 および d3 = 0 を満たす。これにより、写像 F: BrG(T) → H3(T; Z) が全射であることが示され、作用の存在および一意性が保証される。
• 自由かつ固有 G-作用の場合は、軌道写像が同型 p*: Br(T/G) → BrG(T) を誘導する。これにより、BrG(T) は商空間のブラウアー群と同型であることが示される。
• 自明な G-作用の場合は、写像 F: BrG(T) → Br(T) の核は H2(G, C(T, T)) に同型であり、G = R の場合、その系列内のすべての群が自明になるため、ker(F) は自明である。
• G が T 上で自明に作用する場合、H2(G, C(T, T)) は C0(T, K) 上の作用を分類する。G = Z の場合、この群は写像 η を通じて H2(T; Z) に同型である。