[論文レビュー] An equivariant index for proper actions II: properties and applications

Peter Hochs, Yanli Song|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非コンパクトなリー群の非コンパクト多様体上への固有作用に対して、コンパクト群のBravermanのインデックスを一般化した等長的インデックスを確立する。このインデックスは、K-ホモロジー的ディラック誘導と関連する誘導性質を示し、群と軌道空間の両方が非コンパクトであっても、適切な条件下で、量子化が還元と可換である原理を満たすことを示す。

ABSTRACT

In the first part of this series, we defined an equivariant index without assuming the group acting or the orbit space of the action to be compact. This allowed us to generalise an index of deformed Dirac operators, defined for compact groups by Braverman. In this paper, we investigate properties and applications of this index. We prove that it has an induction property that can be used to deduce various other properties of the index. In the case of compact orbit spaces, we show how it is related to the analytic assembly map from the Baum-Connes conjecture, and an index used by Mathai and Zhang. We use the index to define a notion of K-homological Dirac induction, and show that, under conditions, it satisfies the quantisation commutes with reduction principle.

研究の動機と目的

• 既存の手法が失敗する非コンパクトなリー群による非コンパクト多様体上での固有作用に対する等長的インデックス理論を拡張すること。
• コンパクト群の結果（Braverman）とコンパクトな軌道空間の結果（Baum–Connes）を統一的に一般化するインデックスのフレームワークを確立すること。
• 非コンパクトな設定においても、インデックスが量子化が還元と可換である原理を満たすことを証明すること。
• 軌道空間がコンパクトである場合に、インデックスが解析的アセンブリーマップおよびMathai–Zhangのインデックスとどのように関係するかを明らかにすること。
• 新しいインデックスを用いて、Connes–Kasparov予想の文脈でK-ホモロジー的ディラック誘導同型を定義すること。

提案手法

• G-インデックスを $ C_0(G/K) \rtimes G $ のK-ホモロジーに定義し、モリタ同値により $ \widehat{R}(K) $ と同一視する。
• 誘導性質の証明：M = G ×_K N であるK不変スライス N ⊂ M からのG-インデックスの上昇を示し、M上のインデックスをN上のデータで表現する。
• 誘導性質を用いて、軌道空間がコンパクトな場合の解析的アセンブリーマップおよびMathai–Zhangインデックスとの関係を導出する。
• G-インデックスを用いて $ \widehat{R}(K) $ 内にディラック誘導のバージョンを構成し、Connes–Kasparov同型の非コンパクト群への一般化を実現する。
• T^*(G/K) にインデックスを適用し、非コンパクト設定での有用性を示す。
• ベクトル場 v^ψ の G-固有性とそのハミルトニアンの零点集合を用いて、局在化によりインデックスを定義・計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトなリー群の非コンパクト多様体上での固有作用に対して、等長的インデックスを定義できるか？
• RQ2 G-インデックスは、M 上の値がK不変スライス N ⊂ M 上のデータに関係する誘導性質を満たすか？
• RQ3 M/G がコンパクトである場合、G-インデックスは解析的アセンブリーマップおよびMathai–Zhangインデックスとどのように関係するか？
• RQ4 非コンパクトな設定において、G-インデックスは量子化が還元と可換である原理を満たすか？
• RQ5 G-インデックスを用いて、Connes–Kasparov枠組み内でのK-ホモロジー的ディラック誘導同型を定義できるか？

主な発見

• G と M/G がともに非コンパクトであっても、ほとんど連結なリー群の等長的固有作用に対して、G-インデックスは適切に定義可能である。
• 誘導性質により、M = G ×_K N であるK不変スライス N ⊂ M を用いて、G-インデックスが計算可能であり、$ \widehat{R}(K) $ 内のインデックスがN上のK-インデックスで表現される。
• M/G がコンパクトである場合、G-インデックスは解析的アセンブリーマップおよびMathai–Zhangインデックスと関係し、半単純なGで離散系列を有する場合には、アセンブリーマップがG-インデックスから直接回復可能である。
• 再帰的Gで、G/K が偶数次元で、G-不変な $ \operatorname{Spin} $ 構造を持つ場合、G-インデックスは $ \operatorname{Spin}^c $-量子化が還元と可換である原理を満たす：$ m_\lambda = \sum_\nu n^\nu_\lambda Q(M_{\nu + \rho}) $。
• G-インデックスは $ \widehat{R}(K) $ 内にディラック誘導のバージョンを定義し、非コンパクト群へのConnes–Kasparov同型の一般化を実現する。
• G-インデックスは、$ \operatorname{Zeroes}(v^\psi)/G $ が非コンパクトであっても、$ \psi $ がG-固有であれば、依然として適切に定義可能であり、コンパクトケースの結果を非コンパクト設定に拡張する。