[論文レビュー] An equivariant index theorem for hypoelliptic operators

Denis Perrot, Rudy Rodsphon|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、離散群作用を伴う葉層多様体上の擬微分作用素に対して、局所化された作用素トレースとConnes-Moscoviciの残留類を用いて、循環コhomologyにおける局所公式を導出することで、等長的指数定理を確立する。主な結果は、Connes-Moscoviciの横断的指数問題を、予想上のホップ代数的手法に依存せずに解く、ヘイゼンベルク余球面 bundle 上の等長的特徴類を用いた、擬微分的シグニチャ作用素のチャーン＝コンス・キャラクターに対する直接的かつ明示的な公式である。

ABSTRACT

Let M be a foliated manifold and G a discrete group acting on M by diffeomorphisms mapping leaves to leaves. Then G naturally acts by automorphisms on the algebra of Heisenberg pseudodifferential operators on the foliation. Our main result is an index theorem for hypoelliptic-type operators which belong to the crossed product of the Heisenberg pseudodifferential operators with the group G. As a corollary, we get a solution to Connes-Moscovici's transverse problem in arbitrary codimensions, by exhibiting an explicit formula in terms of characteristic classes of equivariant vector bundles over M, for the Chern-Connes character associated to their hypoelliptic signature operator.

研究の動機と目的

• リーマン計量や不変測度を仮定しない一般の群作用の下で、葉層多様体上の擬微分作用素に対する等長的指数理論を構築すること。
• 任意のcodimensionにおいて、Connes-Moscoviciの横断的指数問題を、チャーン＝コンス・キャラクターの明示的公式を提供することによって解決すること。
• 間接的なホップ代数的手法に代えて、ヘイゼンベルク微分作用素論と局所化トレースを用いた直接的で幾何的な手法を用いること。
• Connes-Moscoviciの残留類と循環コhomologyにおける切除法を用いて、擬微分作用素の指数と等長的特徴類との間の関係を確立すること。

提案手法

• 著者らは、離散群 $G$ が葉層多様体 $M$ 上に葉を保存する微分同相写像として作用するものとして、$\Psi_{H,c}(M)\rtimes G$ と表される交叉積代数を定義する。
• 彼らは、交叉積における滑らか作用素のイデアル上に、$G$ の単位元に注目した局所化作用素トレース $\mathrm{Tr}_{[1]}$ を導入する。
• 主な技術的道具は、周期的循環コhomologyにおける境界写像 $\partial: \mathrm{HP}^0(\Psi^{-\infty}_c(M)\rtimes G) \to \mathrm{HP}^1(\mathcal{S}_{H,c}^0(M)\rtimes G)$ である。
• 彼らは、$\partial([\mathrm{Tr}_{[1]}])$ が、擬微分的部分ラプラシアン $\Delta_H^{1/4}$ との対数的交換子に関連する等長的ラドゥルコサイクルによって表されることを示す。
• この構成は、ヘイゼンベルク余球面 bundle $S^*_H M$ 上でのConnes-Moscoviciの残留類を用い、形式的記号を用いた局所公式を導出する。
• 最終的な同定には、等長的コhomologyから循環コhomologyへの特徴写像 $\Phi$ と、射影 $\pi: S^*_H M \to M$ 沿いの押し出し $\pi_*$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン計量や不変測度のような幾何的構造を仮定しないで、葉層多様体上の擬微分作用素に対する等長的指数定理をどのように定式化できるか？
• RQ2 Gelfand-Fuchsの予想に依存せずに、擬微分的シグニチャ作用素のチャーン＝コンス・キャラクターを特徴類の観点から明示的に計算することは可能か？
• RQ3 ヘイゼンベルク擬微分作用素の交叉積代数における切除写像において、局所化作用素トレースの役割は何か？
• RQ4 群作用が存在する状況下で、ヘイゼンベルク余球面 bundle 上のConnes-Moscoviciの残留類は、どのように指数を捉えているか？
• RQ5 指数論は、ホモトピー商 $EG \times_G S^*_H M$ 上の等長的コhomology類として完全に実現可能か？

主な発見

• 局所化作用素トレース $\partial([\mathrm{Tr}_{[1]}])$ の境界は、擬微分的部分ラプラシアン $\Delta_H^{1/4}$ との対数的交換子に関連するConnes-Moscoviciの残留類を含む等長的ラドゥルコサイクルによって表される。
• 擬微分的シグニチャ作用素のチャーン＝コンス・キャラクターは、$\mathrm{ch}(H,F) = \pi_* \circ \Phi(L'(M))$ と与えられ、ここで $L'(M) = \mathrm{Td}(TM \otimes \mathbb{C}) \cup \mathrm{ch}(E_+)$ である。
• クラス $L'(M)$ は、正の固有空間 bundle $E_+$ 上でのChern-Weil理論を用いて構成された、ホモトピー商 $EG \times_G S^*_H M$ 上の閉じた $G$-不変微分形式である。
• 切除写像 $\partial([\mathrm{Tr}])$ の $HP^1(C^\infty_c(S^*_H M) \rtimes G)$ 上での像は、行列代数の同一視の下で $\mathrm{tr}\# \Phi(\pi^* \mathrm{Td}(TM \otimes \mathbb{C}))$ に等しい。
• 群 $G$ が固定点を持たないとき、$\partial([\mathrm{Tr}]) = \partial([\tau])$ となるため、局所化トレースは完全な指数情報を取り込んでいる。
• 最終的な指数公式は、Todd類を $G$-不変なイデムポテン $e$ のチャーン特性でねじる形で得られ、特徴写像を介して完全なチャーン＝コンス・キャラクターが得られる。