[論文レビュー] An essay on the Riemann Hypothesis

Alain Connes|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、代数的幾何と数論の技術を拡張することでリーマン予想を攻める幾何的・コhomologicalな枠組みを提案する。特に、特徴的1次元幾何、非可換幾何、トポロジカル循環ホモロジーの視点から。リーマン予想は、絶対代数や算術コホモロジー理論における新しい数学的構造の開発を駆り立てる強力な動機であると主張する。

ABSTRACT

The Riemann hypothesis is, and will hopefully remain for a long time, a great motivation to uncover and explore new parts of the mathematical world. After reviewing its impact on the development of algebraic geometry we discuss three strategies, working concretely at the level of the explicit formulas. The first strategy is "analytic" and is based on Riemannian spaces and Selberg's work on the trace formula and its comparison with the explicit formulas. The second is based on algebraic geometry and the Riemann-Roch theorem. We establish a framework in which one can transpose many of the ingredients of the Weil proof as reformulated by Mattuck, Tate and Grothendieck. This framework is elaborate and involves noncommutative geometry, Grothendieck toposes and tropical geometry. We point out the remaining difficulties and show that RH gives a strong motivation to develop algebraic geometry in the emerging world of characteristic one. Finally we briefly discuss a third strategy based on the development of a suitable "Weil cohomology", the role of Segal's Gamma-rings and of topological cyclic homology as a model for "absolute algebra" and as a cohomological tool.

研究の動機と目的

• リーマン予想を、特には特徴的1次元代数的幾何における新しい数学的構造の開発を駆り立てる力強い動機として再定式化すること。
• トポロジカル循環ホモロジーとセガのΓ-環を用いて、算術スキームのウェイユコホモロジー理論を構築する可能性を調査すること。
• 関数体におけるリーマン予想の幾何的証明（リーマン・ローチ定理およびトポス理論に基づくもの）を、非可換幾何およびトロピカル幾何を介して数体設定へと拡張すること。
• コホモロジー理論における係数の基礎的問題に取り組み、クイレンの有限体上のK理論に類似した、埋め込み不能で内因的な構成法を求める。
• ガロア表現、自動形式、算術的多様体から生じる分散するL関数を、S代数の循環ホモロジーを含むグローバル・リーマンツフォーラムによって統一すること。

提案手法

• リーマン・ローチ戦略を関数体から数体へと拡張するため、リーマン・ローチ定理がC̄×C̄上で成り立つ幾何的枠組みを用い、素性とスケーリングのサイトがフロベニウス対応を通じてゼータ関数を符号化する。
• 非可換幾何を用いてアデール類空間をリーマン空間としてモデル化し、セリングの跡公式とヴェイユの明示的公式を結びつける。
• トロピカル幾何とチップ・ファイアリング・ゲームを用いて、q → 1 の極限におけるリーマン・ローチ定理を解釈し、特徴的1次元幾何をモデル化する。
• トポロジカル循環ホモロジー（TC）およびその逆フロベニウス作用素を用い、ハッセ＝ヴァイルゼータ関数のコホモロジー的解釈を与える。これはヘッセルホルトの式（36）に従う。
• 乗法群ℝ*₊の周期的軌道を含むグローバル・リーマンツフォーラムを提案し、局所的因子がS代数の循環ホモロジーから生じる。
• 非可測な体埋め込み（例：W(𝔽_q) → ℂ）の代わりに、単位根によるブローラー上昇を用い、コホモロジーにおける係数の測定可能で内因的な構成を目指す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴的1次元代数的幾何の枠組みを用いて、関数体におけるリーマン予想の幾何的証明を数体へ一般化することは可能か？
• RQ2 トポロジカル循環ホモロジーは絶対コホモロジーのモデルとしてどのように機能するのか？また、L関数のグローバル・リーマンツフォーラムにおいて果たす役割は何か？
• RQ3 非可換幾何およびアデール類空間は、明示的公式を跡公式として実現するために果たす正確な役割は何か？
• RQ4 非可測体埋め込みに依存せずに、算術スキームのウェイユコホモロジー理論を構築することは可能か？
• RQ5 セガのΓ-環と球体スペクトルは、L関数の背後にある絶対代数の構築とどのように関係するか？

主な発見

• 関数体におけるリーマン・ローチ戦略（C̄×C̄上のリーマン・ローチ定理に基づくもの）は、素性とスケーリングのサイトを含む幾何的枠組みへと移植可能であるが、最終段階のリーマン・ローチステップは未解決のまま残っている。
• トポロジカル循環ホモロジーは、ヘッセルホルトによる式 ζ(X,s) = det∞((s−Θ)/2π)|TP_odd / det∞((s−Θ)/2π)|TP_even によって、ハッセ＝ヴァイルゼータ関数のコホモロジー的解釈を提供する。
• ヴェイユの明示的公式は、アデール類空間上で跡公式として解釈され、セリングの跡公式を通じて数論とスペクトル幾何を結びつける。
• 関数体ゼータ関数の極限 q→1 は、トロピカルリーマン・ローチ定理とチップ・ファイアリング・ゲームが中心的役割を果たす特徴的1次元幾何のモデルを提供する。
• 非可測体埋め込みの代わりに、ℂにおける単位根によるブローラー上昇を用いることで、コホモロジー係数のより内因的かつ測定可能な代替案が得られる。
• ガロア理論への類似から、L関数の零点間のすべての数的関係（特に臨界線上の位置を超えて）を理解するには、多項式のガロア理論に類似した、より深いコホモロジカルおよび代数的構造が必要であると示唆される。