[論文レビュー] An Eulerian approach to the simulation of deformable solids: Application to finite-strain elasticity

Ken Kamrin, Jean‐Christophe Nave|ArXiv.org|Jan 24, 2009

Elasticity and Material Modeling参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、材料点の初期位置から現在位置への軌道を追跡する参照マップ場を用いて、超弾性体における大変形をシミュレートする新しいエーランジアン数値手法を提案する。この手法により、ラグランジュメッシュや近似を用いずに、静的および動的有限ひずみ弾性の高精度で2次精度のシミュレーションが可能となり、解析解との照合において収束率1.97〜1.99が確認された。

ABSTRACT

We develop a computational method based on an Eulerian field called the "reference map", which relates the current location of a material point to its initial. The reference map can be discretized to permit finite-difference simulation of large solid-like deformations, in any dimension, of the type that might otherwise require the finite element method. The generality of the method stems from its ability to easily compute kinematic quantities essential to solid mechanics, that are elusive outside of Lagrangian frame. This introductory work focuses on large-strain, hyperelastic materials. After a brief review of hyperelasticity, a discretization of the method is presented and some non-trivial elastic deformations are simulated, both static and dynamic. The method's accuracy is directly verified against known analytical solutions.

研究の動機と目的

• ラグランジュ有限要素法に依存せずに、固体的挙動を示す材料における大ひずみ変形を完全にエーランジアンフレームワークでシミュレートするためのフレームワークの構築。
• 固体の物性法則をエーランジアン形式に変換する際の数学的複雑性を克服するため、運動学的整合性を保つ参照マップを導入すること。
• エーランジアン設定において、ひずみ勾配やその他の固体力学の主要な物理量を近似を避けながら正確に計算可能にする。
• 本手法の非自明な静的および動的弾性変形、特に36%のひずみを伴う圧縮波の伝播を含む問題に対して、検証を実施すること。
• 将来の応用を視野に入れて、弾塑性や流体-固体界面問題のようなより複雑な材料モデルへの拡張の基盤を構築すること。

提案手法

• 本手法は、現在の空間的位置 $\mathbf{x}$ から初期材料座標 $\mathbf{X}$ へと逆方向にマッピングする参照マップ場 $\boldsymbol{\xi}(\mathbf{x},t)$ を用い、材料の履歴をエーランジアン形式で追跡可能とする。
• ひずみ勾配 $\mathbf{F}$ は参照マップの勾配から計算され、$\mathbf{F} = \nabla_{\mathbf{x}} \boldsymbol{\xi}^{-1}$ と表され、固体力学に不可欠な運動学的量への直接アクセスを可能にする。
• 参照マップの時間発展は、速度場に基づく輸送方程式 $\partial_t \boldsymbol{\xi} + \mathbf{v} \cdot \nabla \boldsymbol{\xi} = 0$ に従い、流体的移流と整合性を持つ。
• 空間的・時間的離散化には2次精度の有限差分スキームを用い、安定性と精度を維持するためルンゲ＝クッタ時間積分法を採用する。
• 物性法則（例：超弾性）は、参照マップから計算されたひずみ勾配を用いてエーランジアンフレームで適用され、応力の計算が可能になる。
• 境界条件は参照マップを介して適用され、自由表面境界条件は圧力のない流体相との相互作用により実装可能であると提案される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全にエーランジアンなフレームワークを用いて、ラグランジュメッシュや近似を用いずに、大ひずみ弾性変形を正確にシミュレートできるか？
• RQ2 固体的挙動を示す材料において、エーランジアン設定でひずみ勾配のような運動学的量を信頼性高く計算するにはどうすればよいか？
• RQ3 本手法の動的および静的変形に対して、解析解と比較した際の収束率と精度はどの程度か？
• RQ4 参照マップ形式は、最大36%のひずみを伴う非自明な大変形問題（例：圧縮波の伝播）を処理できるか？
• RQ5 本手法は、弾塑性や流体-固体界面問題のようなより複雑な材料挙動への拡張が可能か？

主な発見

• 本手法は、変位場および速度場において2次精度のグローバル収束を達成しており、2つの最も細かいグリッド間で $\xi$ の収束率が1.97、速度の収束率が1.99である。
• 粗いグリッド（$h = 2/10$）でも、圧縮波の数値解は解析解と極めてよく一致しており、ロバスト性と精度の高さが裏付けられた。
• 波パケットにおける最大圧縮ひずみは約36%に達しており、本手法が大規模な有限ひずみ変形を処理できる能力を示している。
• 参照マップにより、エーランジアンフレームでひずみ勾配やその他の運動学的変数を正確に計算可能となり、物性法則の定式化に伴う近似の必要がなくなる。
• 本手法は、静的および動的弾性変形の両方を、既知の解析解と照合しながら高精度にシミュレートできた。
• 予備的な結果から、将来的に弾塑性や流体-固体界面シミュレーションへの応用が有望であると示唆された。