[論文レビュー] An exact algorithm for biobjective integer programming problems

Saliha Doğan, Özlem Karsu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2019

Vehicle Routing Optimization Methods被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、目的空間内のボックスを体系的に探索し、すべての非優越解を特定するための、バイオーブジェクティブ・インテジャープログラミング（BOIP）の正確なアルゴリズムを提示する。この手法は、リファレンスポイントと方向ベクトルを動的に調整することで、時間制限下でも解集合の代表性を向上させ、解集合のカバレッジとハイパーボリュームギャップの指標において、解く必要のある整数計画問題の数を減らしながら、既存のアルゴリズムを上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

We propose an exact algorithm for solving biobjective integer programming problems, which arise in various applications of operations research. The algorithm is based on solving Pascoletti-Serafini scalarizations to search specified regions (boxes) in the objective space and returns the set of nondominated points. We implement the algorithm with different strategies, where the choices of the scalarization model parameters and splitting rule differ. We then derive bounds on the number of scalarization models solved; and demonstrate the performances of the variants through computational experiments both as exact algorithms and as solution approaches under time restriction. The experiments demonstrate that different strategies have advantages in different aspects: while some are quicker in finding the whole set of nondominated solutions, others return good-quality solutions in terms of representativeness when run under time restriction. We also compare the proposed approach with existing algorithms. The results of our experiments show the satisfactory behaviour of our algorithm, especially when run under time limit, as it achieves better coverage of the whole frontier with a smaller number of solutions compared to the existing algorithms.

研究の動機と目的

• 非優越集合の完全な同定を保証するバイオーブジェクティブ・インテジャープログラミング（BOIP）問題を解く正確なアルゴリズムの開発を目的とする。
• Pascoletti-Serafiniスカラライゼーションにおける異なるパラメータ選択（リファレンスポイントの選定）と分割ルールが、計算効率と解集合の質に与える影響を調査することを目的とする。
• 時間制限下でのアルゴリズムの性能を評価し、カバレッジ誤差やハイパーボリュームギャップといった代表性指標に注目することを目的とする。
• バランスボックス法やイプシロン制約法などの既存手法と比較し、解の質と計算コストの観点から提案手法の性能を評価することを目的とする。

提案手法

• アルゴリズムは、リファレンスポイントと方向ベクトルによって定義されるPascoletti-Serafiniスカラライゼーションを用い、スカラライズド・ミックスドインテジャープログラムを解き、目的空間内の指定された領域（ボックス）における非優越点を特定する。
• 目的空間をボックスに分割する戦略を採用し、非優越フロンティアを完全にカバーするように、再帰的に小さなボックスに分割する。
• リファレンスポイントの選択法（例：既存の非優越点の利用）や方向ベクトルの戦略（例：固定の(1,1)Tや対角に基づく方向）を変更することで、異なるバージョンを実装する。
• アルゴリズムの終了性を証明し、解く必要のあるスカラライゼーション問題の数に対する理論的上限を提示することで、完全性を保証する。
• 時間制限下での解集合の代表性を定量的に評価するために、スケーリング済みハイパーボリュームギャップ（SHG）とカバレッジ誤差（CE/SCE）を用いる。
• 計算実験を通じて、本手法をバランスボックス法など既存の手法と比較し、正確な設定と時間制限付きの両方の状況で評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Pascoletti-Serafiniスカラライゼーションにおける、特にリファレンスポイントの選択と方向ベクトルの選定が、バイオーブジェクティブ・インテジャープログラミングにおける計算効率と解集合の質に与える影響は何か？
• RQ2 異なるアルゴリズムバージョンにおいて、解く整数計画問題の数と計算時間のトレードオフは何か？どの戦略が最も良好なバランスを達成するか？
• RQ3 時間制限下でのアルゴリズムの性能、特にカバレッジ誤差とハイパーボリュームギャップで測定される解集合の代表性は、既存手法と比べてどうか？
• RQ4 スカラライゼーションにおける対角ベースの方向ベクトルは、時間制限下でより代表的な解集合を生成するのに寄与するか？特に、スカラライゼーションの回数を減らすことで、解集合の質を向上させられるか？
• RQ5 BOIPにおける非優越集合を完全に探索するのに必要なスカラライゼーション問題の数に対する理論的上限は何か？

主な発見

• 既存の非優越点を用いてボックスを定義する手法に基づくアルゴリズムが、時間制限下でも他のバージョンに比べて解集合の質と計算効率の両面で優れている。
• 固定された方向ベクトル(1,1)Tを用いることで、解く整数計画問題の数は増加するが、複雑なスカラライゼーションの回数が減少するため、計算時間が短縮される。
• 探索ボックスの対角方向に方向ベクトルを設定することで、時間制限下でも非常に代表的な解部分集合が得られ、競合するアルゴリズムよりも良好なカバレッジ誤差とハイパーボリュームギャップが達成される。
• 時間制限下では、提案手法はバランスボックス法よりも非優越フロンティアのカバレッジをより良く実現し、KPインスタンスでは平均で25.5%、APインスタンスでは36.5%の整数計画問題を少なく解く。
• アルゴリズムの性能は代表性指標において一貫して優れている。例えば、KPインスタンスのクラスDでは、時間制限下でスケーリング済みハイパーボリュームギャップ（SHG）が0.0765にまで低下するのに対し、バランスボックス法は0.1182にとどまる。
• 比較実験では、すべての時間制限において、提案手法（CN）はバランスボックス法（BB）と同等またはより優れたカバレッジとハイパーボリュームギャップを達成しており、時間の経過に従い性能差が縮小する傾向にある。