[論文レビュー] An exact and explicit formula for pricing Asian options with regime switching

Leunglung Chan, Song‐Ping Zhu|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2014

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2状態のレジームスイッチングモデル下で、原資産がマルコフ変調付き幾何ブラウン運動に従う場合の、ヨーロピアン型フラーティング・ストライク・アジアン・オプションの正確で閉形式の解析的公式を導出する。ホモトピー解析法（HAM）を用いて、連立偏微分方程式系を解き、このクラスのオプションに対して、レジームスイッチング下で初めての正確で明示的な公式を提供する。

ABSTRACT

This paper studies the pricing of European-style Asian options when the price dynamics of the underlying risky asset are assumed to follow a Markov- modulated geometric Brownian motion; that is, the appreciation rate and the volatility of the underlying risky asset depend on unobservable states of the economy described by a continuous-time hidden Markov process. We derive the exact, explicit and closed-form solutions for European-style Asian options in a two-state regime switching model.

研究の動機と目的

• 標準的なブラック・ショールズ・フレームワークよりも現実的であるレジームスイッチングモデル下でのアジアン・オプションに対する閉形式解の欠如に対処すること。
• ドリフトとボラティリティが、観察不能な経済レジームに従って切り替わる連続時間有限状態マルコフ連鎖によって制御される、マルコフ変調付き幾何ブラウン運動を用いて、資産価格動態をモデル化すること。
• このレジームスイッチング設定下で、フラーティング・ストライク・アジアン・オプションの解析的解を導出することにより、正確な価格設定とヘッジが可能になること。
• ブラック・ショールズ・フレームワークで知られている結果を拡張し、レジームスイッチングモデル下で、固定ストライク型とフラーティング・ストライク型アジアン・オプションの間の対称性関係を確立すること。
• レジームスイッチング動的下での特異的オプション価格設定に関する数値手法やさらなる研究のためのベンチマークを提供すること。

提案手法

• 原資産価格を、連続時間有限状態マルコフ連鎖によって制御される2状態間を切り替えるパラメータ（ドリフトとボラティリティ）を有するマルコフ変調付き幾何ブラウン運動としてモデル化する。
• リスク中立測度下でのフェインマン＝カックの公式に基づき、各レジームにおけるオプション価格の連立偏微分方程式（PDE）系に、価格問題を定式化する。
• 非線形問題を、既知のグリーン関数解を有する線形PDEの系列に変換するため、ホモトピー解析法（HAM）を適用して、PDEの連立系を段階的に解く。
• 吸収および反射項を含む、指数関数的重み付けと補完誤差関数を用いて境界条件を扱う、熱方程式のグリーン関数表現を用いる。
• 空間的・時空的重み付けを伴う補完誤差関数（erfc）を含む基本解を用いて、各レジームにおけるオプション価格の再帰的積分解を導出する。
• レジームスイッチング下でのPDE系の構造を活用し、通貨基準の変更を適用することで、固定ストライク型とフラーティング・ストライク型アジアン・オプションの間の対称性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原資産がレジームスイッチング幾何ブラウン運動に従う場合、フラーティング・ストライク・アジアン・オプションに対して正確で閉形式の解が導出可能か？
• RQ2 ホモトピー解析法（HAM）は、レジームスイッチングオプション価格設定モデルで生じる連立PDEに対して、解析的解を導出するのをどのように可能にするか？
• RQ3 レジームスイッチングフレームワーク下で、固定ストライク型とフラーティング・ストライク型アジアン・オプションの関係は何か？ブラック・ショールズの場合と同様の対称性が成立するか？
• RQ4 レジームスイッチングパラメータ（遷移強度、ドリフト、ボラティリティ）は、標準ブラック・ショールズ・モデルと比較して、アジアン・オプションの価格にどのように影響を与えるか？
• RQ5 導出された解析的公式は、レジームが変化する市場におけるパス・依存型オプションのリスク管理とヘッジにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿では、2状態のレジームスイッチングモデル下で、ヨーロピアン型フラーティング・ストライク・アジアン・オプションの、初めての正確で明示的かつ閉形式の解析的公式を導出する。
• 解は、連立PDEを線形PDEの系列に変換するホモトピー解析法（HAM）を用いて構築され、既知のグリーン関数を有する。
• 得られた価格公式は、補完誤差関数（erfc）を含む再帰的積分表現を含み、レジーム固有のパラメータに依存する空間積分および指数関数的重み付け項を含む。
• 固定ストライク型とフラーティング・ストライク型アジアン・オプションの間の対称性が確立された：適切なストライクおよび初期株価の変換を施した場合、フラーティング・ストライク・コールの価格は固定ストライク・プットの価格に等しくなる。
• 解は算術平均アジアン・オプションに対しても有効であり、レジームスイッチングパラメータを定数値に設定した場合、ブラック・ショールズ・モデルの既知の結果と整合性を保つ。
• 本手法は、レジームスイッチング動的下での他のパス・依存型オプションへの解析的価格設定への体系的フレームワークを提供し、数値検証のためのベンチマークを提供する。