[論文レビュー] An exact general remeshing scheme applied to conservative voxelization

Devon Powell, Tom Abel|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 18被引用数 1

ひとこと要約

本論文は、多面体セル上の多項式関数の保存的ボクセル化に向け、剛健で正確なリメッシュスキームを提示する。質量、運動量、エネルギーの全般的な保存を保証するため、凸多面体のクリッピングと単体的分解を用いて解析的積分を計算する。入力の四面体メッシュと出力の直交グリッド間の体積積分の等価性を保証し、性能向上と数値安定性が実証されている。

ABSTRACT

We present an exact general remeshing scheme to compute analytic integrals of polynomial functions over the intersections between convex polyhedral cells of old and new meshes. In physics applications this allows one to ensure global mass, momentum, and energy conservation while applying higher-order polynomial interpolation. We elaborate on applications of our algorithm arising in the analysis of cosmological N-body data, computer graphics, and continuum mechanics problems. We focus on the particular case of remeshing tetrahedral cells onto a Cartesian grid such that the volume integral of the polynomial density function given on the input mesh is guaranteed to equal the corresponding integral over the output mesh. We refer to this as physically conservative voxelization. At the core of our method is an algorithm for intersecting two convex polyhedra by successively clipping one against the faces of the other. This algorithm is an implementation of the ideas presented abstractly by Sugihara (1994), who suggests using the planar graph representations of convex polyhedra to ensure topological consistency of the output. This makes our implementation robust to geometric degeneracy in the input. We employ a simplicial decomposition to calculate moment integrals up to quadratic order over the resulting intersection domain. We also address practical issues arising in a software implementation, including numerical stability in geometric calculations, management of cancellation errors, and extension to two dimensions. In a comparison to recent work, we show substantial performance gains. We provide a C implementation intended to be a fast, accurate, and robust tool for geometric calculations on polyhedral mesh elements.

研究の動機と目的

• メッシュ変換中に物理的量の正確な保存を保証する一般化されたリメッシュスキームの開発。
• メッシュ遷移に伴う積分値の保存を保証することで、物理シミュレーションにおける保存的高次多項式補間を可能にすること。
• 多面体同士の交差計算における幾何的退化と数値的不安定性の解決。
• 多面体メッシュ要素における幾何計算のための高速で正確かつ剛健なC実装の提供。
• トポロジー的一致性と数値的正確性を維持したまま、2次元応用への拡張を実現すること。

提案手法

• Sugihara（1994）の平面グラフ表現に基づき、1つの凸多面体をもう1つの多面体の面に対して逐次クリッピングすることで、両者の交差領域を計算する。この手法によりトポロジー的一致性が確保される。
• 交差領域の単体的分解を用いて、二次までのモーメント積分を高い正確性で計算する。
• 抽象的な多面体表現と一貫したトポロジー処理に依存することで、幾何的退化に対して剛健である。
• 幾何演算における浮動小数点算術におけるキャンセル誤差の管理を慎重に行うことで、数値的安定性を向上させる。
• 3次元の四面体メッシュから直交グリッドへのリメッシュと、2次元への拡張の両方をサポートし、幾何的およびトポロジー的挙動が一貫している。
• 性能と正確性に最適化されたC実装を提供し、保存的幾何計算に適している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力メッシュセルと出力メッシュセルの交差領域における多項式関数の正確な解析的積分をどのように計算し、保存を保証できるか？
• RQ2 多面体クリッピングにおいて幾何的退化が生じる状況下でも、トポロジー的一致性と剛健性を保証するアルゴリズム的アプローチは何か？
• RQ3 複雑な交差領域において、二次までのモーメント積分を効率的かつ正確に計算する方法は何か？
• RQ4 最近の代替手法と比較して、この手法が達成する性能向上と数値的安定性の向上はどのような点か？
• RQ5 この手法を2次元応用に拡張する際、正確性と剛健性を維持する方法は何か？

主な発見

• 提案されたリメッシュスキームは、入力の四面体メッシュと出力の直交グリッド間で体積積分の正確な保存を達成し、シミュレーションにおける物理的一致性を保証する。
• 平面グラフ表現の使用により、トポロジー的剛健性が実現され、入力メッシュの幾何的退化に対しても耐性を持つ。
• 単体的分解により、複雑な交差領域上での二次までのモーメント積分を高精度で計算可能である。
• 実装は、最近の手法と比較して顕著な性能向上を示し、数値的安定性が向上し、キャンセル誤差が低減されている。
• 2次元応用への拡張に成功しており、幾何計算における正確性と剛健性が維持されている。
• 生産用途に適したCライブラリが公開されており、保存的幾何計算における高性能と信頼性を目的として設計されている。