[論文レビュー] An exact isotropic solution

Anslyn John, Sunil D. Maharaj|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2006

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、重力ポテンシャル $ Z(x) = ax^3 + 1 $ を仮定することで、静的で球対称な時空に対するアインシュタイン場方程式の新しい正確な等方的解を提示する。これにより、圧力の等方性条件は有理数係数をもつ3階線形漸化式に帰着される。解は初等関数で表現され、中心で正則であり、星の中心付近で多極的（polytrope）に近似する圧縮性状態方程式を備えているため、中性子星などのコンパクトな相対論的星のモデル化に適している。

ABSTRACT

The condition for pressure isotropy is reduced to a recurrence equation with variable, rational coefficients of order three. We prove that this difference equation can be solved in general. Consequently we can find an exact solution to the field equations corresponding to a static spherically symmetric gravitational potential in terms of elementary functions. The metric functions, the energy density and the pressure are continuous and well behaved which implies that this solution could be used to model the interior of a relativistic sphere. The model satisfies a barotropic equation of state in general which approximates a polytrope close to the stellar centre.

研究の動機と目的

• 静的で球対称な時空に対するアインシュタイン場方程式の新しい正確な解を導出すること。この解は物理的正則性条件を満たす必要がある。
• これまでの研究で未だ検討がなかった文脈において、重力ポテンシャル $ Z(x) = ax^3 + 1 $ の立方体形式の使用を検討すること。
• 圧力の等方性に起因する3階の漸化式を解き、初等関数で表される解を得ること。
• 解が圧縮性状態方程式 $ p = p(\rho) $ を満たし、星の中心付近で多極的と類似した振る舞いを示すことを示すこと。
• 解が中性子星などのコンパクトな相対論的対象をモデル化する上で物理的に妥当であることを確立すること。

提案手法

• 重力ポテンシャルに $ Z(x) = ax^3 + 1 $ の立方体形式を仮定し、$ x = Cr^2 $ を用いてDurgapal-Bannerji変換を適用する。
• 圧力の等方性条件を $ y(x) $ に関する2階線形微分方程式として導出し、変数係数をもつ3階線形漸化式に帰着する。
• 初等的原則から漸化式を解き、実数係数をもつ2つの独立した級数の線形結合として $ y(x) $ の級数解を得る。
• 級数解を用いて計量関数 $ e^{2 u} $ と $ e^{2 heta} $ を構成し、変換されたアインシュタイン方程式からエネルギー密度 $ \rho $ と圧力 $ p $ を計算する。
• 解が中心（$ x=0 $）で正則であり、$ \nu $, $ \lambda $, $ \rho $, $ p $ が有限かつ連続であり、$ a < 0 $ のとき $ \rho > 0 $, $ p > 0 $ であることを確立する。
• 解が明示的な圧縮性状態方程式 $ p = p(\rho) $ を満たし、中心付近で $ p \propto \rho^{-1/2} $ の依存性を示すことを示し、多極的と類似した振る舞いを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重力ポテンシャル $ Z(x) = ax^3 + 1 $ の立方体形式が、等方的相対論的星のアインシュタイン場方程式に対して解が得られ、物理的に妥当な解をもたらすか？
• RQ2 圧力の等方性に起因する3階の漸化式が、初等関数で表される閉形式解をもつか？
• RQ3 解は星の中心で正則で、エネルギー密度と圧力が正である物理的に受け入れ可能な状態か？
• RQ4 解が圧縮性状態方程式を満たし、星の中心付近で多極的と類似した振る舞いを示すか？
• RQ5 解が中性子星などの現実的なコンパクトな物体をモデル化する基盤として利用可能か？

主な発見

• 圧力の等方性条件は、変数係数をもつ有理数係数の3階線形漸化式に帰着され、初等的原則から正確に解かれた。
• 収束するべき級数を用いた初等関数による表現により、すべての計量および物質変数が中心で正則かつ連続であることが保証される。
• エネルギー密度 $ \rho $ は中心で消え、$ a < 0 $ のとき正であり、圧力 $ p $ は中心で有限かつ正であり、星内部全域で正のまま保たれる。
• 解は圧縮性状態方程式 $ p = p(\rho) $ を満たし、中心付近で $ p \propto \rho^{-1/2} $ の依存性を示し、多極的と類似した振る舞いを示す。
• 解は星の表面でシュワルツシルト外部解に滑らかに接続され、境界条件 $ e^{-2\lambda(R)} = 1 - \frac{2M}{R} $ を満たす。
• 適切な定数 $ a, c_0, c_1, A, C $ の選択により、音速条件 $ 0 \leq dp/d\rho \leq 1 $ を満たし、物理的整合性が保証される。