[論文レビュー] An exact macroscopic extended model with many moments

S. Pennisi, Maria Cristina Carrisi+1 more|ArXiv.org|Mar 1, 2007

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の固定されたモーメント数をもつ正確な巨視的拡張熱力学モデルを提示し、4次元記法を用いて、熱力学的平衡に近い任意の次数における構成関数を導出する。リウのエントロピー原理とルッジェリの平均場形式を適用することで、運動方程式の一般解が得られ、これは力学的アプローチを特別な場合として含むものであり、双曲性と有限な信号伝播速度を保証する。

ABSTRACT

Extended Thermodynamics is a very important theory: for example, it predicts hyperbolicity, finite speeds of propagation waves as well as continuous dependence on initial data. Therefore, it constitutes a significative improvement of ordinary thermodynamics. Here its methods are applied to the case of an arbitrary, but fixed, number of moments. The kinetic approach has already been developed in literature; then, the macroscopic approach is here considered and the constitutive functions appearing in the balance equations are determined up to whatever order with respect to thermodynamical equilibrium. The results of the kinetic approach are a particular case of the present ones.

研究の動機と目的

• 任意の固定されたモーメント数をもつ拡張熱力学における運動方程式系を巨視的アプローチで正確に閉じること。
• 熱力学的平衡に近い任意の次数における運動方程式の構成関数を特定すること。
• 力学的アプローチを特別な場合として含む一般解を確立すること。
• 4次元記法を導入・適用し、拡張熱力学方程式の定式化を簡略化すること。
• エントロピーポテンシャル関数の凸性を用いて、双曲性と有限な信号伝播速度を保証すること。

提案手法

• リウのエントロピー原理を適用し、エントロピー生成が非負となるようにラグランジュ乗数（平均場）を導出する。
• ルッジェリの変換を用いて、修正されたエントロピーポテンシャル関数 $ H'^\alpha $ を定義し、$ H'^\alpha $ に関するラグランジュ乗数による偏微分としてフラックステンソルを導出する。
• $ H'^\alpha $ における対称性条件を課すことにより、フラックステンソル $ M^{\alpha_1\cdots\alpha_{N+1}} $ の対称性を保証し、一貫したテンソル的構造を確保する。
• 系に対してガリレオ変換不変性を課し、$ H'^\alpha $ の形式に関する追加制約を導出する。
• 平衡からのずれについて任意の次数まで解くために、$ H'^\alpha $ のための連立方程式系を解き、積分定数の2つの族を特定する。
• 導出された構成関数が既知の力学的理論の式に還元されることを示すことにより、力学的理論の結果が特別な場合として得られることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のモーメント数をもつ拡張熱力学における運動方程式系を、巨視的枠組みで正確に閉じる方法は何か？
• RQ2 熱力学的平衡に近い任意の次数における運動方程式の構成関数の一般形は何か？
• RQ3 巨視的アプローチと力学的アプローチの間には、拡張熱力学においてどのような関係があるか？
• RQ4 4次元記法を用いることで、多数のモーメントをもつ拡張熱力学の定式化を簡略化・統合できるか？
• RQ5 積分定数と対称性条件は、拡張熱力学系の一般解において、どのように役立つか？

主な発見

• Nモーメントをもつ拡張熱力学における運動方程式系の一般解が、4次元記法を用いて閉形式で導出された。
• フラックスおよびソースの構成関数は、凸なエントロピーポテンシャル関数 $ H'^\alpha $ をラグランジュ乗数に関して偏微分することで表現され、双曲性が保証される。
• 特定の $ H'^\alpha $ の形を選択することで、力学的理論の結果が特別な場合として回復される。
• 解には、対称性および不変性条件の積分における2つの族の積分定数が含まれる。
• サブシステム法（例：NモーメントからN−1モーメントに削減する場合）を適用すると、1つの族の定数のみが継承され、偶数Nでは存在しない補足項（奇数Nにのみ存在）は消える。
• N=3の場合、得られた結果は文献で先行して得られたものと完全に一致し、手法の妥当性が検証された。