[論文レビュー] An exact tensor network for the 3SAT problem

Artur García-Sáez, José I. Latorre|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、3SATインスタンスの非正規化量子状態を符号化する正確なテンソルネットワークを構築する。状態の係数は解に一致する。ネットワークの縮約により解の数が計算され、#P-完全な複雑性クラスに位置づけられ、1つの解を求めるには変数数に対して多項式回の局所観測量の縮約で十分であることを示す。

ABSTRACT

We construct a tensor network that delivers an unnormalized quantum state whose coefficients are the solutions to a given instance of 3SAT, an NP-complete problem. The tensor network contraction that corresponds to the norm of the state counts the number of solutions to the instance. It follows that exact contractions of this tensor network are in the #P-complete computational complexity class, thus believed to be a hard task. Furthermore, we show that for a 3SAT instance with n bits, it is enough to perform a polynomial number of contractions of the tensor network structure associated to the computation of local observables to obtain one of the explicit solutions to the problem, if any. Physical realization of a state described by a generic tensor network is equivalent to finding the satisfying assignment of a 3SAT instance and, consequently, this experimental task is expected to be hard.

研究の動機と目的

• 3SATインスタンスのすべての解を非正規化量子状態の係数として符号化するテンソルネットワーク表現を開発すること。
• この状態のノルムをテンソルネットワークの縮約によって計算すると解の数が得られ、そのタスクが#P-完全に属することを示すこと。
• 1つの明示的な解を、変数の数に対して多項式回の局所観測量の縮約で得られることを示すこと。
• このようなテンソルネットワーク状態を物理的に実現する際の複雑さを確立し、3SATを解くことの難易度と関連付けること。

提案手法

• 各3SAT節を論理的制約を符号化するエントリをもつランク3テンソルとして表現するテンソルネットワークを構築する。
• これらの節テンソルを組み合わせて、完全な3SATインスタンスを表すグローバルなテンソルネットワークを構成する。
• ネットワークの縮約を定義し、符号化された量子状態のノルムを計算する。このノルムは満たされる割り当ての数に等しい。
• 具体的には、1キュービットの射影演算子の期待値を用いた局所観測量の縮約を用いて、状態から個々の解を抽出する。
• テンソルネットワークの構造を活用し、解が存在する場合に限り、多項式回のこのような縮約件数で解を特定できることを保証する。
• この構成における正確なテンソルネットワーク縮約の計算複雑度が#P-完全であることを証明し、本質的な難易度を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソルネットワークを構築でき、その縮約によって3SATインスタンスの解の数が得られるか？
• RQ2 変数数に対して多項式回の局所縮約のみを用いて、テンソルネットワーク状態から1つの満たされる割り当てを抽出することは可能か？
• RQ3 この特定のテンソルネットワーク構造の縮約の計算複雑度は何か？
• RQ4 テンソルネットワーク状態の物理的実現は、3SATを解くことの難易度とどのように関係するか？
• RQ5 テンソルネットワーク定式化を用いて、量子状態準備の複雑性理論的下界を確立できるか？

主な発見

• テンソルネットワークは、3SATインスタンスのすべての解を非正規化量子状態の係数として符号化する。
• テンソルネットワークの縮約により解の総数が計算され、そのタスクは#P-完全な複雑性クラスに位置づけられる。
• 1つの解を求めるには、変数の数に対して多項式回の局所観測量の縮約で十分である。
• テンソルネットワーク状態の物理的準備は、3SATインスタンスを解くことと計算的に同等であり、したがって困難であると予想される。
• この構成により、テンソルネットワーク縮約の複雑さと3SAT解の数え上げの#P-完全性との直接的な関連が確立される。
• この手法は、量子状態準備がNP-完全問題を解くことに相当する形式的枠組みを提供する。