[論文レビュー] An example elucidating the mathematical situation in the statistical non-uniqueness problem of turbulence

Michael Frewer|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2015

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ナビエ＝ストークス乱流における多点相関方程式の無限階層であるフリードマン＝ケラー階層が、前向き再帰的構造を示すため、すべての式を形式的に取り入れたとしても、一意な一般解を有しないことを示している。下位次元のODE類似系とリー群不変性解析を用いて、任意の初期条件と整合する無限に多くの関数的に異なる同値変換が系に存在することを示し、不変解が追加のモデル化仮定なしには任意かつ一意でないことを明らかにした。

ABSTRACT

An instructive example is presented to elucidate the mathematical situation in the non-uniqueness problem of the infinite Friedmann-Keller hierarchy of equations for all multi-point moments within the theory of spatially unbounded Navier-Stokes turbulence. It is shown that the non-uniqueness problem of the Friedmann-Keller hierarchy emerges from the property that the system of equations is defined forward recursively. As a result, this system does not possess a unique general solution, even when the complete infinite system is formally considered. That is, even when imposing a sufficient number of initial conditions to this infinite system, it still does not provide a unique solution. This finding is supported by a Lie-group invariance analysis, in that the imposed example analogous to the Friedmann-Keller hierarchy admits an unclosed Lie algebra which allows for infinitely many functionally different equivalence transformations which all can be made compatible with any specifically chosen initial condition. Hence, if no prior modelling assumptions are made to close the Friedmann-Keller system of equations, the existence of an invariant solution within such a forward recursively defined system is then without value, since it just represents an arbitrary solution among infinitely many other, equally privileged invariant solutions.

研究の動機と目的

• 乱流の多点相関方程式の無限フリードマン＝ケラー階層における非一意性の数学的起源を調査すること。
• すべての無限方程式と初期条件を考慮しても、その前向き再帰的構造のため、系が未定義のまま残ることを示すこと。
• リー群不変性解析により、閉じていない代数が得られ、任意の初期条件と整合する無限に多くの同値変換が存在することを示すこと。
• このような系における不変解が物理的に優位ではない理由を明確にすること、なぜならそれらは無限に多くの同等に妥当な解の中の一つにすぎないからである。
• 非一意性問題が切り捨てや数値近似の結果ではなく、階層の前向き再帰的順序に起因することを確立すること。

提案手法

• 核心的な数学的問題を分離・分析するために、フリードマン＝ケラー階層の下位次元ODE類似系を構築する。
• 変数xに関する積分とモーメント生成を用いて、高次元PDE（u_t = u_xx - λx²u）から無限の結合ODE系を導出する。
• 初期条件をu_n(0) = ∫xⁿφ(x)dxとして定義し、φ(x)を正規化された初期関数とする。これによりコーシー問題を定義する。
• リー群不変性解析をODE系に適用し、系の未閉じ性に起因する同値変換としての対称性を同定する。
• 各方程式が高階モーメントに依存する前向き再帰的構造が、一意な解の決定を不可能にすることを示す。
• 横方向場の表現と極限処理（例：x_{n+1} → x_k）を用いて、低次元モーメントおよび圧力-速度相関を定義し、階層の構造を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ無限フリードマン＝ケラー階層の多点相関方程式は、すべての式を形式的に含めたとしても一意な解を生まないのか？
• RQ2 モーメント階層フレームワーク内での乱流の統計的記述における非一意性の数学的起源は何か？
• RQ3 高階モーメントが後続の式にのみ現れるようなモーメント方程式の前向き再帰的順序が、非一意性をどのように引き起こすのか？
• RQ4 リー群不変性解析は、フリードマン＝ケラー階層のような未閉じ系に内在する構造的欠陥を明らかにできるか？
• RQ5 無限に多くの関数的に異なる解が存在するにもかかわらず、このような系における不変解が物理的に意味を持たないのはなぜか？

主な発見

• 無限フリードマン＝ケラー階層は、その前向き再帰的構造ゆえに本質的に非一意であり、すべての式を形式的に取り入れたとしても、一意な一般解が存在しない。
• 完全な初期条件集合が与えられても、前向き再帰的性質が無限に多くの関数的に異なる解を許容するため、系は未定義のまま残る。
• リー群不変性解析により、未閉じのリー代数が得られ、任意の初期条件と整合する無限に多くの同値変換が存在することが明らかになった。
• 不変解の存在は、それらが無限に多くの同等に妥当な解の中の一つにすぎないため、物理的価値を持たない。
• 非一意性問題は、切り捨てや数値近似の結果ではなく、モーメント階層の前向き再帰的順序に起因するものであり、本質的である。
• 階層を後向き再帰的順序にすれば非一意性問題は解消されるため、問題は再帰の方向に起因するにすぎないことが確認された。